Em um estator conectado em estrela, em um instante t, \vec{v}_{\mathrm{s}}(t)=150 / 30^{\circ} \mathrm{V}. Calcule \vec{v}_{a}(t), \vec{v}_{b}(t) e \vec{v}_{c}(t) nesse instante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já em notação fasorial/espacial):
  • \vec{v}_{\mathrm{s}}(t)=150\angle 30^\circ\\ \mathrm{V}.
O que é pedido:
  • Calcular \vec{v}_{a}(t), \vec{v}_{b}(t) e \vec{v}_{c}(t) naquele instante.

Passo 2

Primeiro, vamos explicar claramente a relação que usamos entre o vetor de espaço e as tensões de fase (notação complexa/fasorial). Uma definição comum é
\vec{v}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\bigl(\vec{v}_{a}(t)+\vec{v}_{b}(t)e^{j\frac{2\pi}{3}}+\vec{v}_{c}(t)e^{j\frac{4\pi}{3}}\bigr),
onde:
  • \vec{v}_{\mathrm{s}}(t) é o vetor de espaço (número complexo que representa a combinação das três fases),
  • \vec{v}_{a}(t),\vec{v}_{b}(t),\vec{v}_{c}(t) são as fasores (complexos) das tensões de fase em relação ao neutro,
  • j é a unidade imaginária, e e^{j\frac{2\pi}{3}} é uma rotação de 120^\circ.
Essa fórmula é usada comumente quando a componente de sequência zero é nula (caso típico em sistemas equilibrados sem injeção de sequência zero). Nesse caso as fases formam um sistema equilibrado com defasagem de 120^\circ entre si.

Passo 3

Agora mostro uma forma simples e direta de inverter a relação no caso equilibrado (sem componente de sequência zero). Se o sistema é equilibrado, as fasores de fase podem ser escritas como
\vec{v}_{a}=V_m e^{j\theta},\qquad \vec{v}_{b}=V_m e^{j(\theta-120^\circ)},\qquad \vec{v}_{c}=V_m e^{j(\theta+120^\circ)}.
Substituindo essas expressões na definição do vetor de espaço:
\vec{v}_{\mathrm{s}}=\frac{2}{3}\bigl(V_m e^{j\theta}+V_m e^{j(\theta-120^\circ)}e^{j120^\circ}+V_m e^{j(\theta+120^\circ)}e^{j240^\circ}\bigr).
Usando e^{j(\theta-120^\circ)}e^{j120^\circ}=e^{j\theta} e e^{j(\theta+120^\circ)}e^{j240^\circ}=e^{j\theta}, o parêntese vira 3V_m e^{j\theta}. Logo
\vec{v}_{\mathrm{s}}=\frac{2}{3}\cdot 3V_m e^{j\theta}=2V_m e^{j\theta}.
Dessa expressão obtemos a relação simples entre magnitude/fase do vetor de espaço e a fasor de cada fase:
V_m e^{j\theta}=\frac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}}.
Portanto, as fasores das fases são obtidas por
\vec{v}_{a}=\frac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}},\qquad \vec{v}_{b}=\frac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}}e^{-j120^\circ},\qquad \vec{v}_{c}=\frac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}}e^{j120^\circ}.
Explicando intuitivamente: o vetor de espaço tem magnitude duas vezes a magnitude de cada fasor de fase no sistema equilibrado com a convenção usada, por isso cada fasor de fase é metade do vetor de espaço e defasado em relação a ele de 0^\circ,\,-120^\circ,\,+120^\circ.

Passo 4

Aplicando os valores numéricos. Temos \vec{v}_{\mathrm{s}}=150\angle 30^\circ\\ \mathrm{V}. Logo a metade é 75\angle 30^\circ\\ \mathrm{V}. Agora aplicamos as rotações:
\vec{v}_{a}(t)=\tfrac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}}=75\angle 30^\circ\\ \mathrm{V},
\vec{v}_{b}(t)=\tfrac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}}e^{-j120^\circ}=75\angle(30^\circ-120^\circ)=75\angle(-90^\circ)\\ \mathrm{V},
\vec{v}_{c}(t)=\tfrac{1}{2}\vec{v}_{\mathrm{s}}e^{j120^\circ}=75\angle(30^\circ+120^\circ)=75\angle 150^\circ\\ \mathrm{V}.
Observação sobre ângulos: \angle(-90^\circ) é equivalente a \angle 270^\circ se preferir ângulos positivos.

Resposta

\vec{v}_{a}(t)=75\angle 30^\circ\\ \mathrm{V}
\vec{v}_{b}(t)=75\angle (-90^\circ)\\ \mathrm{V}
\vec{v}_{c}(t)=75\angle 150^\circ\\ \mathrm{V}

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