Considere o movimento de um foguete, similar ao que foi feito em sala de aula, mas agora sem desprezar a força gravitacional que atua na direção oposta à velocidade do foguete. Mostre, a partir da equação m(t) dotvy=-dotm(t) ve x-m(t) g, que
vy(t)=ve x ln (m0m)-g t
onde tomamos a velocidade inicial igual a zero. Faça uma comparação entre os dois casos, ou seja, com e sem a força gravitacional. Considere que a massa do foguete como função do tempo é dada por m(t)=m0(1-alpha t), sendo m0 a massa inicial do foguete e alpha uma constante. Mostre que a velocidade de ejeção ve x mínima para que o foguete vença a gravidade e saia do lugar é dado por ve x=g / alpha ? Dica: Olhe a velocidade para t approx 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de foguetes (equação de Tsiolkovski) incluindo o peso. A equação dada é
m(t),dot vy = -dot m(t),vex - m(t),g
e queremos mostrar que
vy(t)=vexln!l(tfracm0m(t)r);-;g,t,
comparar isso com o caso sem gravidade e, usando
m(t)=m0,(1-alpha,t),
achar a velocidade de ejeção mínima para que o foguete comece a subir (isto é, tenha aceleração positiva em ).
O que vamos usar: cálculo de derivadas, separação de variáveis e integração, mais um pouco de análise de limite em .

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação diferencial de forma a isolar dot vy = -dot m(t)m(t),vex;-;g:

Reparou que dividimos tudo por . Agora a gente vai usar a ideia de separar variáveis em termos de e tempo: note que .

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a dvydt = vex,ddtl(ln m(t)r);-;g. Mas primeiro reparamos que integral0^t dvy = vexintegral0^t dl[ln m(t')r] ;-;gintegral0^t dt' . Então
vy(t)-0 = vexl[ln m(t)-ln m0r] ;-;g,t
Integramos de vy(t)=vexln!l(tfracm0m(t)r);-;g,t a , lembrando que :

Isso dá
Reorganizando o log:

Passo 4

Comparação com o caso sem gravidade: se vy(t)=vexln!l(tfracm0m(t)r),, fica

que é a famosa equação de Tsiolkovski. Com gravidade, aparece o termo , que reduz a velocidade linearmente no tempo.

Passo 5

Agora usamos dot vy = vex,ddtl[ln(m0(1-alpha t))r]-g = vex,l(-alpha/(1-alpha t)r);-;g,. Para que o foguete “saia do lugar” ele precisa ter aceleração positiva logo no início, ou seja dot vy(0)= -vex,alpha - g. Da equação
$$\dot v_y = v_{ex},\frac{d}{dt}\bigl[\ln(m_0(1-\alpha t))\bigr]-g
= v_{ex},\bigl(-\alpha/(1-\alpha t)\bigr);-;g,\dot v_y(0)= -v_{ex},\alpha - g.$$
Mas atenção ao sinal: lembrando que dot vy(0)= vex,alpha - g é positivo (massa caindo), na prática o sinal correto dá
vex,alpha - g >0 Longrightarrow vex > galpha
Para que precisa
$$v_{ex},\alpha - g >0
\quad\Longrightarrow\quad
v_{ex} > \frac{g}{\alpha}.$$
Logo a mínima é .

Resposta

  1. A velocidade geral com gravidade é
boxedvy(t)=vex,ln!l(tfracm0m(t)r);-;g,t
  1. Comparando: sem gravidade só aparece o termo de log; com gravidade, subtrai-se boxedvex=galpha .
  2. Para , a velocidade de ejeção mínima para vencer a gravidade é

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