Considere o movimento de um foguete, similar ao que foi feito em sala de aula, mas agora sem desprezar a força gravitacional que atua na direção oposta à velocidade do foguete. Mostre, a partir da equação
, que
onde tomamos a velocidade inicial igual a zero. Faça uma comparação entre os dois casos, ou seja, com e sem a força gravitacional. Considere que a massa do foguete como função do tempo é dada por
, sendo
a massa inicial do foguete e
uma constante. Mostre que a velocidade de ejeção
mínima para que o foguete vença a gravidade e saia do lugar é dado por
? Dica: Olhe a velocidade para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de foguetes (equação de Tsiolkovski) incluindo o peso. A equação dada é
e queremos mostrar que
comparar isso com o caso sem gravidade e, usando
achar a velocidade de ejeção mínima
O que vamos usar: cálculo de derivadas, separação de variáveis e integração, mais um pouco de análise de limite em
Passo 2
Começamos reescrevendo a equação diferencial de forma a isolar
:
Reparou que dividimos tudo por
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
. Mas primeiro reparamos que
. Então
Integramos de
Isso dá
Reorganizando o log:
Passo 4
Comparação com o caso sem gravidade: se
, fica
que é a famosa equação de Tsiolkovski. Com gravidade, aparece o termo
Passo 5
Agora usamos
. Para que o foguete “saia do lugar” ele precisa ter aceleração positiva logo no início, ou seja
. Da equação
$$\dot v_y = v_{ex},\frac{d}{dt}\bigl[\ln(m_0(1-\alpha t))\bigr]-g
= v_{ex},\bigl(-\alpha/(1-\alpha t)\bigr);-;g,\dot v_y(0)= -v_{ex},\alpha - g.$$
Mas atenção ao sinal: lembrando que
é positivo (massa caindo), na prática o sinal correto dá
Para que
$$v_{ex},\alpha - g >0
\quad\Longrightarrow\quad
v_{ex} > \frac{g}{\alpha}.$$
Logo a mínima é .
Logo a mínima é
Resposta
- A velocidade geral com gravidade é
- Comparando: sem gravidade só aparece o termo de log; com gravidade, subtrai-se
. - Para
, a velocidade de ejeção mínima para vencer a gravidade é