Considere um movimento horizontal com resistência do tipo
, com
e
uma constante. Use a segunda lei de Newton para mostrar que a velocidade é descrita por
Compare com os resultados dos casos de arrasto linear e quadrático.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. O problema fala sobre um movimento horizontal com uma resistência do ar que depende da velocidade, dada por $ F_x = -c v_x^\alpha $, onde $ \alpha \neq 1 $ e $ c $ é uma constante. Nosso objetivo é mostrar que a velocidade $ v_x $ ao longo do tempo é descrita pela fórmula:
Depois, vamos comparar esse resultado com os casos de resistência linear ($ \alpha = 1
\alpha = 2 $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz:
Aqui, $ F $ é a força resultante, $ m $ é a massa do objeto e $ a $ é a aceleração. No nosso caso, a única força agindo horizontalmente é a resistência do ar $ F_x = -c v_x^\alpha $. Então, podemos escrever:
Passo 3
Sabemos que a aceleração $ a_x $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo isso na equação da Segunda Lei de Newton, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis $ v_x $ e $ t $:
Isso nos dá uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar $ v_x(t) $.
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. A integral de $ v_x^{-\alpha} dv_x $ é:
E a integral de $ -\frac{c}{m} dt $ é:
Onde $ C $ e $ C’ $ são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as integrais e resolvendo para $ v_x $:
Podemos resolver para $ v_x^{1 - \alpha} $:
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ v_x(0) = v_{0x} $:
Então, $ C = \frac{v_{0x}^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} $.
Substituindo de volta:
Finalmente, resolvendo para $ v_x $:
Passo 7
Agora, vamos comparar com os casos especiais:
- Arrasto linear ($ \alpha = 1 $):
Substituindo $ \alpha = 1 $ na expressão geral, percebemos que teremos uma divisão por zero. Isso acontece porque a resistência linear é tratada de forma diferente. Nesse caso, a equação diferencial se torna:
Resolvendo essa equação, obtemos uma solução exponencial:
- Arrasto quadrático ($ \alpha = 2 $):
Substituindo $ \alpha = 2 $ na expressão geral:
Simplificando:
Resposta
A velocidade $ v_x $ em função do tempo é dada por