Considere o movimento livre de uma partícula quântica de massa M restrita a um círculo de raio r. Encontre as autofunções e os autovalores de energia. Dica: Monte a energia clássica do sistema, faça a quantização desta energia, ou seja, coloque ela como operador, finalmente construa com ela a equação de autovalores.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é estudar uma partícula quântica livre que corre numa circunferência de raio hat Hpsi = E,psi . O objetivo é achar as autofunções e os autovalores de energia . Isso cai em Mecânica Quântica, mais precisamente na solução da equação de Schrödinger para um movimento angular. Para resolver, vamos precisar:
  1. Escrever a energia clássica (cinética) em função do momento angular.
  2. Fazer a “quantização”: trocar o momento angular pelo operador .
  3. Montar a equação de autovalores
  1. Impor a condição de periodicidade .

Passo 2

A energia clássica de uma partícula que só gira é puramente cinética e vale
T = L^22Mr^2,
onde L to hat L = -ihbarpartialpartialvarphi, é o momento angular clássico. Na mecânica quântica a gente faz
hat H = hat L^22Mr^2 = -hbar^22Mr^2,partial^2partialvarphi^2
logo o Hamiltoniano fica

Passo 3

A equação de autovalores -hbar^22Mr^2,d^2psidvarphi^2 =E,psi vira
d^2psidvarphi^2 + k^2,psi = 0, k^2 = 2Mr^2Ehbar^2
Rearranjando,
psi(varphi) = A,e^ikvarphi + B,e^-ikvarphi
A solução geral dessa EDO é

Passo 4

Como a partícula vive numa circunferência, a onda tem que ser periódica de período psi(varphi+2pi)=psi(varphi) :
psim(varphi) = Am,e^i mvarphi + Bm,e^-i mvarphi,
Isso só acontece se for inteiro, digamos . Então
mas cada termo já satisfaz a periodicidade, então podemos escolher só um deles (eles são independentes).

Passo 5

Agora normaliza:
integral0^2pi|psim|^2,dvarphi = 1 ;Longrightarrow; |Am|^2integral0^2pidvarphi = 1 ;Longrightarrow; Am = 1raiz2pi
Então ficamos com
psim(varphi) = 1raiz2pi,e^i mvarphi,
com Em = hbar^2 m^22Mr^2 . O autovalor de energia sai de :

Resposta

Autofunções:

Autovalores de energia:

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