Considere o movimento livre de uma partícula quântica de massa
restrita a um círculo de raio
. Encontre as autofunções e os autovalores de energia. Dica: Monte a energia clássica do sistema, faça a quantização desta energia, ou seja, coloque ela como operador, finalmente construa com ela a equação de autovalores.
Passo 1
Beleza, a ideia aqui é estudar uma partícula quântica livre que corre numa circunferência de raio
. O objetivo é achar as autofunções
e os autovalores de energia
. Isso cai em Mecânica Quântica, mais precisamente na solução da equação de Schrödinger para um movimento angular. Para resolver, vamos precisar:
- Escrever a energia clássica (cinética) em função do momento angular.
- Fazer a “quantização”: trocar o momento angular pelo operador
. - Montar a equação de autovalores
- Impor a condição de periodicidade
.
Passo 2
A energia clássica de uma partícula que só gira é puramente cinética e vale
onde
é o momento angular clássico. Na mecânica quântica a gente faz
logo o Hamiltoniano fica
Passo 3
A equação de autovalores
vira
Rearranjando,
A solução geral dessa EDO é
Passo 4
Como a partícula vive numa circunferência, a onda tem que ser periódica de período
:
Isso só acontece se
for inteiro, digamos
. Então
mas cada termo já satisfaz a periodicidade, então podemos escolher só um deles (eles são independentes).
Passo 5
Agora normaliza:
Então ficamos com
com
. O autovalor de energia sai de
:
Resposta
Autofunções:
Autovalores de energia:
Autovalores de energia: