Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 <= x. Para t=0 a função de onda do sistema é: psi(x, 0)=C1 sen(pi xa)+C2 sen(2 pi xa), onde C1 e C2 são constates de normalização.
(a) Explique que significa essa função de onda.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma partícula quântica presa num poço de potencial infinito, unidimensional, entre 0 e psi(x,0)=C1,sin!l(tfracpi xar);+;C2,sin!l(tfrac2pi xar), . No instante inicial , a função de onda é
onde e são constantes de normalização.
Conteúdo da matéria: mecânica quântica em poço infinito, autofunções e superposição de estados.
O que vamos precisar:
• Entender as autofunções do poço infinito ( ).
• Interpretação da função de onda (Born: é densidade de probabilidade).
• Conceito de superposição de estados quânticos.

Passo 2

O que é essa |psi(x,0)|^2,dx ?
  1. Em mecânica quântica, a função de onda phin(x)=sin!l(tfracnpi xar), contém TODA a informação sobre o sistema.
  2. Pela regra de Born, a probabilidade de achar a partícula entre En=n^2pi^2hbar^22m,a^2, n=1,2,dots e em é
  1. Como o poço é infinito, as condições de contorno são . As soluções naturais (autofunções) são
com energias

Passo 3

Por que a soma de dois senos?
  1. Qualquer estado inicial pode ser escrito como combinação linear (superposição) dessas autofunções, porque elas formam uma base ortonormal.
  2. Aqui a gente só usou os dois primeiros modos ( integral0^a|psi(x,0)|^2,dx =|C1|^2+|C2|^2=1 e ):
    – O termo é o “modo fundamental” ( ),
    – O termo é o “primeiro excitado” ( ).
  3. Os coeficientes e são as amplitudes de probabilidade de cada modo. A chance de encontrar a partícula nesse estado é , desde que a soma das probabilidades dê 1, ou seja

Passo 4

Significado físico:
– A partícula não está “100% no estado ” nem “100% no ”, mas numa mistura dos dois.
– Se você fizer uma medida de energia nesse instante, terá probabilidade de achar e probabilidade de achar .
– A densidade de probabilidade no espaço é dada por , que varia dependendo da interferência entre os dois modos.

Resposta

Essa função de onda é uma superposição quântica dos dois primeiros estados estacionários do poço infinito. Os coeficientes e são as amplitudes (normalizadas) que determinam a probabilidade de a partícula estar no nível de energia ou , e dá a probabilidade de achá-la em cada posição no instante inicial.

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