Considere um movimento oscilatório descrito pela expressão:
x(t)=A \cos \left(\varphi_{0}+\omega t\right)
(a) Faça x(t)=x(t+T) e obtenha uma expressão para a frequência angular \omega em função do período T.
(b) Utilize a expressão anterior e escreva \omega em função da frequência f do movimento.
(c) Discuta a diferença entre \omega e f, apresentando exemplos de como essas frequências podem ser utilizadas para modelar sistemas oscilatórios.

Passo 1

O enunciado fornece a lei do movimento
x(t)=A\cos\!\big(\varphi_{0}+\omega t\big),
e pede três coisas:
  • (a) Partindo da igualdade temporal x(t)=x(t+T), obter uma expressão para \omega em função do período T.
  • (b) Usar a expressão anterior e escrever \omega em função da frequência f do movimento.
  • (c) Discutir a diferença entre \omega e f, com exemplos de uso em modelagem de sistemas oscilatórios.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A é a amplitude (constante).
  • \varphi_{0} é a fase inicial (constante).
  • \omega é a frequência angular que queremos relacionar com T e f.
  • T é um período (tempo entre repetições do movimento).
  • f é a frequência em ciclos por segundo (Hz), que satisfaz f=1/T.

Passo 2

Resolver (a): impor x(t)=x(t+T) e analisar a condição sobre \omega.
Escrevendo a igualdade:
A\cos\!\big(\varphi_{0}+\omega t\big)=A\cos\!\big(\varphi_{0}+\omega(t+T)\big).
Como A é constante e não nulo (se A=0 o movimento é trivial), podemos cancelar A e obter
\cos\!\big(\varphi_{0}+\omega t\big)=\cos\!\big(\varphi_{0}+\omega t+\omega T\big).
Chame \alpha=\varphi_{0}+\omega t. A condição fica
\cos(\alpha)=\cos(\alpha+\omega T)\quad\text{para todo \(\alpha\)}.
Para que isso valha para qualquer \alpha (ou seja, para todo t), é necessário e suficiente que tanto \cos(\omega T)=1 quanto \sin(\omega T)=0. (Isto vem de expandir \cos(\alpha+\omega T)=\cos\alpha\cos(\omega T)-\sin\alpha\sin(\omega T) e exigir igualdade para todo \alpha.)
As equações \cos(\omega T)=1 e \sin(\omega T)=0 são satisfeitas simultaneamente sempre que
\omega T = 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Isso dá a relação geral entre \omega e T. O menor período positivo (período fundamental) corresponde a n=1, portanto:
\omega = \frac{2\pi}{T}.

Passo 3

Resolver (b): expressar \omega em função da frequência f.
A definição de frequência é
f=\frac{1}{T}.
Substituindo na expressão encontrada em (a) obtemos
\omega = \frac{2\pi}{T}=2\pi f.
Observação de unidades: f tem unidades de hertz ( \mathrm{Hz}=\mathrm{s^{-1}}), e \omega tem unidades de radianos por segundo ( \mathrm{rad\cdot s^{-1}}).

Passo 4

Resolver (c): discutir a diferença entre \omega e f e dar exemplos de aplicação.
  1. O que representam, conceitualmente:
  • \displaystyle f conta quantas oscilações completas ocorrem por segundo; é “ciclos por segundo” (Hz). É uma medida direta do ritmo do movimento.
  • \displaystyle \omega mede a rapidez angular da oscilação: quantos radianos por segundo a fase avança. Cada ciclo corresponde a 2\pi radianos, então \omega é simplesmente 2\pi vezes f.
  1. Por que usar \omega em vez de f (ou vice‑versa):
  • Em equações diferenciais e na manipulação de funções trigonométricas/complexas, \omega aparece naturalmente porque a derivada de \cos(\omega t) traz um fator \omega: \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t).Isso faz com que \omega apareça diretamente em leis dinâmicas (por exemplo, no oscilador harmônico simples a equação é \ddot x+\omega_0^2 x=0, onde \omega_0 é a frequência angular natural).
  • f é mais intuitivo quando se quer dizer “quantas oscilações por segundo” (por ex., áudio: 440 Hz para a nota lá).
  1. Exemplos concretos de uso em modelos:
  • Massa-mola linear (sem amortecimento): massa m, mola constante k. A frequência angular natural é \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},e a frequência em Hz é f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • Circuito RLC ressonante (indutor L, capacitor C sem resistência): frequência angular natural \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},e frequência em Hz f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
  • Pêndulo pequeno (aproximação linear): período T=2\pi\sqrt{L/g} e, portanto, \omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.
  1. Exemplo numérico rápido para fixar:
    Se T=0,5\\ \mathrm{s} então f=1/T=2\\ \mathrm{Hz} e
\omega=2\pi f=4\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}.
Aqui f=2 diz “duas voltas por segundo”; \omega\approx 12{,}566 diz “a fase avança 12{,}566) radianos por segundo”.
  1. Dica prática para prova (motivação amigável):
  • Use f quando o enunciado pede número de ciclos ou quando se fala em Hz (som, sinais).
  • Use \omega quando resolver equações diferenciais, trabalhar com exponenciais complexas e^{i\omega t} ou tomar derivadas/integrar funções trigonométricas.
  • Sempre verifique unidades: transformar entre \omega e f por \omega=2\pi f evita erros bobos.

Passo 5

Resumo final e incentivo rápido: a relação entre as duas quantidades é simples e aparece sempre em problemas de oscilação: \omega é só a versão “em radianos por segundo” de f. Em provas, quando ver \cos(\omega t) ou equações do tipo \ddot x+\omega^2 x=0, pense em \omega. Quando o enunciado falar em “Hz” ou “quantas oscilações por segundo”, pense em f. Tá tranquilo — converte com \omega=2\pi f e pronto!

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}
(b) \displaystyle \omega=2\pi f
(c) \displaystyle f é a frequência em ciclos por segundo (Hz) e \displaystyle \omega é a frequência angular em rad/s; \omega surge naturalmente em equações diferenciais e na forma e^{i\omega t}, enquanto f é mais intuitiva para contar oscilações. Exemplos: massa-mola \omega_0=\sqrt{k/m}, f_0=\omega_0/(2\pi); circuito RLC \omega_0=1/\sqrt{LC}, f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}).

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