Considere um movimento oscilatório descrito pela expressão:
(a) Faça
e obtenha uma expressão para a frequência angular
em função do período
.
(b) Utilize a expressão anterior e escreva
em função da frequência
do movimento.
(c) Discuta a diferença entre
e
, apresentando exemplos de como essas frequências podem ser utilizadas para modelar sistemas oscilatórios.
(b) Utilize a expressão anterior e escreva
(c) Discuta a diferença entre
Passo 1
O enunciado fornece a lei do movimento
e pede três coisas:
- (a) Partindo da igualdade temporal
, obter uma expressão para em função do período . - (b) Usar a expressão anterior e escrever
em função da frequência do movimento. - (c) Discutir a diferença entre
e , com exemplos de uso em modelagem de sistemas oscilatórios.
Informações relevantes dadas no enunciado:
-
é a amplitude (constante). -
é a fase inicial (constante). -
é a frequência angular que queremos relacionar com e . -
é um período (tempo entre repetições do movimento). -
é a frequência em ciclos por segundo (Hz), que satisfaz .
Passo 2
Resolver (a): impor
e analisar a condição sobre
.
Escrevendo a igualdade:
Como
é constante e não nulo (se
o movimento é trivial), podemos cancelar
e obter
Chame
. A condição fica
Para que isso valha para qualquer
(ou seja, para todo
), é necessário e suficiente que tanto
quanto
. (Isto vem de expandir
e exigir igualdade para todo
.)
As equações
e
são satisfeitas simultaneamente sempre que
Isso dá a relação geral entre
e
. O menor período positivo (período fundamental) corresponde a
, portanto:
Passo 3
Resolver (b): expressar
em função da frequência
.
A definição de frequência é
Substituindo na expressão encontrada em (a) obtemos
Observação de unidades:
tem unidades de hertz (
), e
tem unidades de radianos por segundo (
).
Passo 4
Resolver (c): discutir a diferença entre
e
e dar exemplos de aplicação.
- O que representam, conceitualmente:
-
conta quantas oscilações completas ocorrem por segundo; é “ciclos por segundo” (Hz). É uma medida direta do ritmo do movimento. -
mede a rapidez angular da oscilação: quantos radianos por segundo a fase avança. Cada ciclo corresponde a radianos, então é simplesmente vezes .
- Por que usar
em vez de (ou vice‑versa):
- Em equações diferenciais e na manipulação de funções trigonométricas/complexas,
aparece naturalmente porque a derivada de traz um fator : Isso faz com que apareça diretamente em leis dinâmicas (por exemplo, no oscilador harmônico simples a equação é , onde é a frequência angular natural). -
é mais intuitivo quando se quer dizer “quantas oscilações por segundo” (por ex., áudio: 440 Hz para a nota lá).
- Exemplos concretos de uso em modelos:
- Massa-mola linear (sem amortecimento): massa
, mola constante . A frequência angular natural é e a frequência em Hz é - Circuito RLC ressonante (indutor
, capacitor sem resistência): frequência angular natural e frequência em Hz - Pêndulo pequeno (aproximação linear): período
e, portanto,
- Exemplo numérico rápido para fixar:
Seentão e
Aqui
diz “duas voltas por segundo”;
diz “a fase avança 12{,}566) radianos por segundo”.
- Dica prática para prova (motivação amigável):
- Use
quando o enunciado pede número de ciclos ou quando se fala em Hz (som, sinais). - Use
quando resolver equações diferenciais, trabalhar com exponenciais complexas ou tomar derivadas/integrar funções trigonométricas. - Sempre verifique unidades: transformar entre
e por evita erros bobos.
Passo 5
Resumo final e incentivo rápido: a relação entre as duas quantidades é simples e aparece sempre em problemas de oscilação:
é só a versão “em radianos por segundo” de
. Em provas, quando ver
ou equações do tipo
, pense em
. Quando o enunciado falar em “Hz” ou “quantas oscilações por segundo”, pense em
. Tá tranquilo — converte com
e pronto!
Resposta
(a)
(b)
(c)
é a frequência em ciclos por segundo (Hz) e
é a frequência angular em rad/s;
surge naturalmente em equações diferenciais e na forma
, enquanto
é mais intuitiva para contar oscilações. Exemplos: massa-mola
,
; circuito RLC
,
.