Use o método de separação de variáveis para resolver as equações diferenciais.
\frac{y}{x} \frac{d y}{d x}=\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2}\left(1+y^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de separação de variáveis, a equação diferencial
\frac{y}{x}\,\frac{dy}{dx}=\left(1+x^{2}\right)^{-1/2}\left(1+y^{2}\right)^{1/2}.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é y função de x.
  • A equação envolve y, x e a derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita equivalente) usando separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a equação de forma a separar os termos que dependem de y dos que dependem de x. Partimos de
\frac{y}{x}\,\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1+y^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Multiplicando ambos os lados por dx obtemos
\frac{y}{x}\,dy=\frac{\sqrt{1+y^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Agora multiplicamos ambos os lados por \dfrac{x}{\sqrt{1+y^{2}}} (isto é, isolamos fatores para ter só y,dy de um lado e só x,dx do outro):
\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Essa é a forma separada: o lado esquerdo depende apenas de y e dy; o lado direito depende apenas de x e dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Escrevendo a integral:
\int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy = \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vou mostrar como calcular uma integral do tipo \int \dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt porque ambas as integrais têm essa forma (com t=y e t=x).
Técnica: substituição. Seja u=1+t^{2}. Então du=2t\,dt, ou seja t\,dt = \dfrac{1}{2}\,du. Também \sqrt{1+t^{2}}=\sqrt{u}. Assim
\int \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt = \int \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
A primitiva de u^{-1/2} é 2u^{1/2}, logo
\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}=u^{1/2}=\sqrt{1+t^{2}}.
Portanto a integral vale \sqrt{1+t^{2}} + constante.

Passo 4

Aplicando esse resultado às nossas duas integrais obtemos:
\sqrt{1+y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C,
onde C é uma constante real arbitrária (diferença das constantes de cada lado combinadas num único C).

Passo 5

Podemos deixar a solução nessa forma implícita — é uma forma muito simples e adequada. Se for preciso escrever y explicitamente em função de x, isolamos y:
\sqrt{1+y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C
eleva-se ao quadrado ambos os lados:
1+y^{2} = \bigl(\sqrt{1+x^{2}} + C\bigr)^{2}.
Logo
y^{2} = \bigl(\sqrt{1+x^{2}} + C\bigr)^{2} - 1,
e finalmente
y(x)=\pm\sqrt{\bigl(\sqrt{1+x^{2}} + C\bigr)^{2}-1}.
Aqui o sinal \pm e o valor de C devem ser escolhidos de acordo com as condições iniciais (se houver) e com a necessidade de manter os radicandos não negativos.

Resposta

\sqrt{1+y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}+C
\displaystyle y(x)=\pm\sqrt{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+C\bigr)^{2}-1}

Exercícios relacionados