Use o método de separação de variáveis para resolver as equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método de separação de variáveis, a equação diferencial
Informações fornecidas:
- A incógnita é
função de . - A equação envolve
, e a derivada . - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita equivalente) usando separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a equação de forma a separar os termos que dependem de
dos que dependem de
. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora multiplicamos ambos os lados por
(isto é, isolamos fatores para ter só
de um lado e só
do outro):
Essa é a forma separada: o lado esquerdo depende apenas de
e
; o lado direito depende apenas de
e
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Escrevendo a integral:
onde
é a constante de integração. Vou mostrar como calcular uma integral do tipo
porque ambas as integrais têm essa forma (com
e
).
Técnica: substituição. Seja
. Então
, ou seja
. Também
. Assim
A primitiva de
é
, logo
Portanto a integral vale
constante.
Passo 4
Aplicando esse resultado às nossas duas integrais obtemos:
onde
é uma constante real arbitrária (diferença das constantes de cada lado combinadas num único
).
Passo 5
Podemos deixar a solução nessa forma implícita — é uma forma muito simples e adequada. Se for preciso escrever
explicitamente em função de
, isolamos
:
eleva-se ao quadrado ambos os lados:
Logo
e finalmente
Aqui o sinal
e o valor de
devem ser escolhidos de acordo com as condições iniciais (se houver) e com a necessidade de manter os radicandos não negativos.