Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d y=4 x\left(y^{2}+1\right)^{1 / 2} d x, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
y\,dy = 4x\sqrt{y^{2}+1}\,dx, \qquad y(0)=1.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz essa relação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes são:
  • A equação relaciona diferenciais dy e dx.
  • A condição inicial é y(0)=1.

Passo 2

Vamos transformar a equação para separar as variáveis y e x. Como y^{2}+1>0 para todo y, é seguro dividir por \sqrt{y^{2}+1}. Fazendo isso obtemos:
\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = 4x\,dx.
Agora os termos com y estão do lado esquerdo e os com x do lado direito — estamos prontos para integrar ambos os lados.

Passo 3

Calcular as integrais de cada lado. Primeiro a esquerda:
fazer a substituição u = y^{2}+1. Então du = 2y\,dy, ou seja y\,dy = \tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = \int \frac{1}{2} u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot 2 u^{1/2} + C_1 = u^{1/2}+C_1.
Voltando a y, isso dá \sqrt{y^{2}+1}+C_1.
A integral do lado direito é direta:
\int 4x\,dx = 2x^{2} + C_2.
Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes em uma só C) obtemos
\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em \sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} + C
\sqrt{1^{2}+1} = C \quad\Rightarrow\quad C = \sqrt{2}.
Portanto a relação encontrada é
\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} + \sqrt{2}.

Passo 5

Resolver para y. Elevando ao quadrado ambos os lados:
y^{2}+1 = \bigl(2x^{2} + \sqrt{2}\bigr)^{2}.
Isolando y^{2} e extraindo a raiz:
y^{2} = \bigl(2x^{2} + \sqrt{2}\bigr)^{2} - 1,
y = \pm\sqrt{\bigl(2x^{2} + \sqrt{2}\bigr)^{2} - 1}.
A condição inicial y(0)=1>0 seleciona o ramo positivo. Assim
y(x) = \sqrt{\bigl(2x^{2} + \sqrt{2}\bigr)^{2} - 1}.
Podemos expandir o radicando se preferir:
\bigl(2x^{2} + \sqrt{2}\bigr)^{2} - 1 = 4x^{4} + 4\sqrt{2}\,x^{2} + 1,
portanto também
y(x) = \sqrt{4x^{4} + 4\sqrt{2}\,x^{2} + 1}.

Passo 6

Verificação rápida e domínio: em x=0 obtemos y(0)=\sqrt{1}=1, que confirma a condição inicial. O valor dentro da raiz é sempre \ge 1 (pois 2x^{2}+\sqrt{2}\ge\sqrt{2}), então a solução é bem definida para todo x\in\mathbb{R}. A escolha do sinal positivo é imposta pela condição inicial e pela continuidade da solução.

Resposta

y(x)=\sqrt{\bigl(2x^{2}+\sqrt{2}\bigr)^{2}-1}=\sqrt{4x^{4}+4\sqrt{2}\,x^{2}+1}

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