Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz essa relação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes são:
- A equação relaciona diferenciais
e . - A condição inicial é
.
Passo 2
Vamos transformar a equação para separar as variáveis
e
. Como
para todo
, é seguro dividir por
. Fazendo isso obtemos:
Agora os termos com
estão do lado esquerdo e os com
do lado direito — estamos prontos para integrar ambos os lados.
Passo 3
Calcular as integrais de cada lado. Primeiro a esquerda:
fazer a substituição . Então
, ou seja
. Assim
fazer a substituição
Voltando a
, isso dá
.
A integral do lado direito é direta:
Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes em uma só
) obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
em
dá
Portanto a relação encontrada é
Passo 5
Resolver para
. Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isolando
e extraindo a raiz:
A condição inicial
seleciona o ramo positivo. Assim
Podemos expandir o radicando se preferir:
portanto também
Passo 6
Verificação rápida e domínio: em
obtemos
, que confirma a condição inicial. O valor dentro da raiz é sempre
(pois
), então a solução é bem definida para todo
. A escolha do sinal positivo é imposta pela condição inicial e pela continuidade da solução.