Considere o movimento de uma partícula de carga q em um campo de forças eletrostático criado por uma carga de mesmo sinal Q na origem
Fe l(r)=14 pi varepsilon0 q Qr^2 r=Kr^2 r
então: Mostre que o movimento resultante é planar.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma partícula de carga vec Fel(vec r)=Kr^2,hat r,, K=qQ4pivarepsilon0, sentindo a força elétrica de uma carga fixa na origem. Essa força é central, ou seja, aponta sempre na direção de e vale
O assunto aqui é mecânica clássica — mais exatamente forças centrais e conservação do momento angular. Para mostrar que o movimento é planar, vamos usar:
  1. definição de torque ,
  2. relação entre torque e variação do momento angular .

Passo 2

Primeiro, calculemos o torque que a força central exerce sobre a partícula:
vectau ;=;vec rtimesvec Fel(vec r) ;=;vec rtimesl(tfracKr^2,hat rr) ;=;Kr^2,vec rtimeshat r
Mas vectau = vec 0 é paralelo a dvec L dt=0 Longrightarrow vec L=vec rtimesvec p;é constante , então . Logo
Pela segunda lei de Newton para rotações, . Como , concluímos que
é

Passo 3

Quando o momento angular é constante, ele define um vetor fixo no espaço. Mas o produto vetorial só pode ser igual a esse se e (ou seja, a trajetória e a velocidade) estiverem sempre num mesmo plano perpendicular a . Em outras palavras, a partícula não “sai” desse plano fixo.

Resposta

O movimento é planar porque a força é central, o torque é nulo, o momento angular é conservado e isso obriga a trajetória a ficar contida num plano perpendicular a .

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