A densidade de energia do neutrino (distribuição estatística de Fermi-Dirac) na história remota do universo é dada por
rhonu=4 pih^3 integral0^infty x^31+[exp (x / kB T)] d x
Mostre que
rhonu=7 pi^530 h^3(kB T)^4
Dica: O seguinte resultado envolvendo a soma da série geométrica pode ser útil
sumn=0^infty z^n=11-z, |z|<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a densidade de energia do neutrino usando a distribuição estatística de Fermi-Dirac. A nossa missão é mostrar que a expressão dada para a densidade de energia pode ser simplificada para outra forma mais elegante. Para isso, vamos precisar lidar com integrais envolvendo exponenciais e usar um pouco de teoria sobre séries geométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que nos foi dada para a densidade de energia do neutrino:
rhonu = 4 pih^3 integral0^infty x^31 + exp(xkB T) dx
Aqui, $ h $ é a constante de Planck, $ k_B $ é a constante de Boltzmann, $ T $ é a temperatura, e $ x $ é uma variável de integração que representa a energia em termos dimensionais.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da integral. Note que o denominador $ 1 + \exp\left(\frac{x}{k_{B} T}\right) $ pode ser reescrito usando uma série geométrica. Para isso, usamos a dica fornecida:
1 + exp(xkB T)
Aqui, vamos identificar $ z $ com $ -\exp\left(-\frac{x}{k_{B} T}\right) $, então nossa expressão fica:
sumn=0^infty z^n = 11 - z, |z| < 1

Passo 4

Substituindo essa série na expressão da densidade de energia, temos:
rhonu = 4 pih^3 integral0^infty x^3 sumn=0^infty (-1)^n exp(-n xkB T) dx
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é permitido sob certas condições de convergência), ficando:
rhonu = 4 pih^3 sumn=0^infty (-1)^n integral0^infty x^3 exp(-n xkB T) dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^infty x^3 exp(-n xkB T) dx
Fazendo uma mudança de variável para simplificar, seja $ y = n \frac{x}{k_{B} T} $, então $ x = \frac{y k_{B} T}{n} $ e $ dx = \frac{k_{B} T}{n} dy $. Substituindo:
y = n xkB T
Sabemos que $ \int_{0}^{\infty} y^{3} e^{-y} dy = 3! = 6 $. Então:
x = y kB Tn

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da densidade de energia:
rhonu = 4 pih^3 sumn=0^infty (-1)^n 6 (kB T)^4n^4 = 24 pi (kB T)^4h^3 sumn=0^infty (-1)^nn^4

Passo 7

Reconhecemos que a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{4}} $ é relacionada à função zeta de Riemann. Especificamente:
sumn=1^infty (-1)^n+1n^4
Portanto,
sumn=1^infty (-1)^n+1n^4 = 7 pi^4720

Resposta

Finalmente, substituindo na expressão da densidade de energia:
rhonu = 24 pi (kB T)^4h^3 (-7 pi^4720) = 7 pi^530 h^3 (kB T)^4
Então, mostramos que:
rhonu = 7 pi^530 h^3 (kB T)^4

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