A densidade de energia do neutrino (distribuição estatística de Fermi-Dirac) na história remota do universo é dada por
Mostre que
Dica: O seguinte resultado envolvendo a soma da série geométrica pode ser útil
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a densidade de energia do neutrino usando a distribuição estatística de Fermi-Dirac. A nossa missão é mostrar que a expressão dada para a densidade de energia pode ser simplificada para outra forma mais elegante. Para isso, vamos precisar lidar com integrais envolvendo exponenciais e usar um pouco de teoria sobre séries geométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que nos foi dada para a densidade de energia do neutrino:
Aqui, $ h $ é a constante de Planck, $ k_B $ é a constante de Boltzmann, $ T $ é a temperatura, e $ x $ é uma variável de integração que representa a energia em termos dimensionais.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da integral. Note que o denominador $ 1 + \exp\left(\frac{x}{k_{B} T}\right) $ pode ser reescrito usando uma série geométrica. Para isso, usamos a dica fornecida:
Aqui, vamos identificar $ z $ com $ -\exp\left(-\frac{x}{k_{B} T}\right) $, então nossa expressão fica:
Passo 4
Substituindo essa série na expressão da densidade de energia, temos:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é permitido sob certas condições de convergência), ficando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Fazendo uma mudança de variável para simplificar, seja $ y = n \frac{x}{k_{B} T} $, então $ x = \frac{y k_{B} T}{n} $ e $ dx = \frac{k_{B} T}{n} dy $. Substituindo:
Sabemos que $ \int_{0}^{\infty} y^{3} e^{-y} dy = 3! = 6 $. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da densidade de energia:
Passo 7
Reconhecemos que a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n+1}}{n{4}} $ é relacionada à função zeta de Riemann. Especificamente:
Portanto,
Resposta
Finalmente, substituindo na expressão da densidade de energia:
Então, mostramos que: