Mostre que essa expressao equivale à usual série de Fourier dada pela expressão
f(x)=a02+sumn=1^+infty an cos n x+sumn=1^+infty bn sin n x
com

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que são formas de representar funções periódicas usando senos e cossenos. A expressão que a gente quer mostrar que é equivalente à série de Fourier usual é:
f(x)=a02+sumn=1^+infty an cos n x + sumn=1^+infty bn sin n x
E temos que os coeficientes an e bn são dados por:
l an=alphan cos thetan bn=alphan sin thetan
Então, vamos precisar entender como esses coeficientes se relacionam e como podemos reescrever a série para mostrar que ela é equivalente à forma usual da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na série de Fourier, os coeficientes an e bn determinam a amplitude dos termos de cosseno e seno, respectivamente. Nesse caso, os an e bn estão expressos em termos de alphan e thetan, que parecem representar a amplitude e a fase de cada termo harmônico.
A ideia aqui é usar uma representação polar para combinar os coeficientes an e bn em uma única amplitude alphan e um ângulo thetan. Isso facilita a manipulação e demonstração da equivalência.

Passo 3

Vamos substituir os valores de an e bn na série de Fourier pela expressão fornecida:
f(x) = a02 + sumn=1^+infty alphan cos thetan cos n x + sumn=1^+infty alphan sin thetan sin n x
Agora, temos a série de Fourier escrita em termos de alphan e thetan.

Passo 4

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica importante que relaciona produtos de cossenos e senos com somas:
cos A cos B + sin A sin B = cos (A - B)
Aplicando essa identidade na expressão que obtivemos:
alphan cos thetan cos n x + alphan sin thetan sin n x = alphan cos (n x - thetan)
Então, a série passa a ficar:
f(x) = a02 + sumn=1^+infty alphan cos (n x - thetan)

Passo 5

Agora, observamos que essa nova expressão representa a série de Fourier em termos de amplitudes alphan e fases thetan. A forma alphan cos (n x - thetan) é uma representação compacta que combina os termos de cosseno e seno em um único termo com amplitude e fase.
Isso mostra que, ao definir an e bn dessa maneira, estamos apenas reescrevendo a série de Fourier tradicional usando uma forma mais conveniente que incorpora amplitude e fase diretamente.

Resposta

Portanto, ao expressar os coeficientes an e bn em termos de alphan e thetan, conseguimos reescrever a série de Fourier usual como:
f(x) = a02 + sumn=1^+infty alphan cos (n x - thetan)
Isso mostra que a expressão dada é equivalente à série de Fourier tradicional.

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