Mostre que essa expressao equivale à usual série de Fourier dada pela expressão
com
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que são formas de representar funções periódicas usando senos e cossenos. A expressão que a gente quer mostrar que é equivalente à série de Fourier usual é:
E temos que os coeficientes
e
são dados por:
Então, vamos precisar entender como esses coeficientes se relacionam e como podemos reescrever a série para mostrar que ela é equivalente à forma usual da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na série de Fourier, os coeficientes
e
determinam a amplitude dos termos de cosseno e seno, respectivamente. Nesse caso, os
e
estão expressos em termos de
e
, que parecem representar a amplitude e a fase de cada termo harmônico.
A ideia aqui é usar uma representação polar para combinar os coeficientes
e
em uma única amplitude
e um ângulo
. Isso facilita a manipulação e demonstração da equivalência.
Passo 3
Vamos substituir os valores de
e
na série de Fourier pela expressão fornecida:
Agora, temos a série de Fourier escrita em termos de
e
.
Passo 4
Vamos lembrar uma identidade trigonométrica importante que relaciona produtos de cossenos e senos com somas:
Aplicando essa identidade na expressão que obtivemos:
Então, a série passa a ficar:
Passo 5
Agora, observamos que essa nova expressão representa a série de Fourier em termos de amplitudes
e fases
. A forma
é uma representação compacta que combina os termos de cosseno e seno em um único termo com amplitude e fase.
Isso mostra que, ao definir
e
dessa maneira, estamos apenas reescrevendo a série de Fourier tradicional usando uma forma mais conveniente que incorpora amplitude e fase diretamente.
Resposta
Portanto, ao expressar os coeficientes
e
em termos de
e
, conseguimos reescrever a série de Fourier usual como:
Isso mostra que a expressão dada é equivalente à série de Fourier tradicional.