Considere o movimento de uma partícula de massa m sobre a influência de uma força \mathbf{F}=-K \mathbf{r}, em que K é positivo e constante e \mathbf{r} é o vetor posição da partícula. Encontre a posição da partícula em função do tempo assumindo que em t=0, x=a, y=0, v_{x}=0, v_{y}=v.

Passo 1

O enunciado pede a posição da partícula em função do tempo sabendo que a força sobre ela é \mathbf{F}=-K\mathbf{r} com K>0. As condições iniciais em t=0 são:
x(0)=a,\qquad y(0)=0,\qquad v_x(0)=0,\qquad v_y(0)=v.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Massa: } m,\\\ &\text{Força: } \mathbf{F}=-K\mathbf{r},\\\ &\text{Posição inicial: } (x,y)=(a,0) \text{ em } t=0,\\\ &\text{Velocidades iniciais: } v_x(0)=0,\; v_y(0)=v.
A missão é achar as funções x(t) e y(t) que descrevem a posição da partícula para todo t.

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton para a partícula temos:
m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}=-K\mathbf{r},
onde \mathbf{r}=(x,y) e \ddot{\mathbf{r}}=(\ddot{x},\ddot{y}). Isso é uma equação vetorial de segundo ordem. Como a força é proporcional a \mathbf{r} componente a componente, as componentes se separam: temos duas equações escalares independentes
m\ddot{x}=-Kx,\qquad m\ddot{y}=-Ky.
Vou explicar o que isso significa: cada coordenada se comporta como um oscilador harmônico simples (uma mola) independente da outra, porque a força na direção x depende só de x, e a força na direção y depende só de y.

Passo 3

Reescrevo cada equação no formato padrão de oscilador harmônico. Defino a frequência angular
\omega \equiv \sqrt{\dfrac{K}{m}}.
Então as equações ficam
\ddot{x}+\omega^{2}x=0,\qquad \ddot{y}+\omega^{2}y=0.
Agora explico como resolver uma equação do tipo \ddot{u}+\omega^{2}u=0. É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Uma maneira mecânica é tentar soluções do tipo u(t)=e^{\lambda t}. Substituindo dá \lambda^{2}+\omega^{2}=0, então \lambda=\pm i\omega. Com raízes imaginárias, a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
u(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aplicando isso às duas coordenadas, as soluções gerais são
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
y(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
com A,B,C,D constantes a determinar.

Passo 4

Agora uso as condições iniciais para achar A,B,C,D. Primeiro em t=0:
x(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A,
portanto
A=a.
A velocidade v_x(t)=\dot{x}(t) é
\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t),
então em t=0
v_x(0)=\dot{x}(0)=B\omega.
Como v_x(0)=0, segue
B=0.

Passo 5

Faço o mesmo para y. Em t=0:
y(0)=C\cos(0)+D\sin(0)=C,
e como y(0)=0 obtemos
C=0.
A velocidade v_y(t)=\dot{y}(t) é
\dot{y}(t)=-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t).
Em t=0 isso dá
v_y(0)=D\omega.
Como v_y(0)=v, obtemos
D=\dfrac{v}{\omega}.

Passo 6

Agora interpreto o que os valores das constantes significam e, se quiser, descrevo a trajetória. Com os valores encontrados temos:
A=a,\; B=0,\; C=0,\; D=\dfrac{v}{\omega}.
Fisicamente, x começa em a com velocidade zero, portanto executa oscilações em torno da origem; y começa em 0 com velocidade v, então executa oscilações defasadas em relação a x. Se quisermos ver a forma da trajetória no plano xy, eliminamos o tempo:
\begin{aligned} x(t)&=a\cos(\omega t),\\\ y(t)&=\dfrac{v}{\omega}\sin(\omega t). \end{aligned}
Usando \cos^{2}+\sin^{2}=1 obtemos a equação elíptica
\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}+\left(\dfrac{\omega y}{v}\right)^{2}=1,
logo a partícula descreve uma elipse centrada na origem. Um caso particular: se v=a\omega a elipse é um círculo de raio a. O período das oscilações em cada direção é
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}.

Resposta

x(t)=a\cos\!\left(\sqrt{\dfrac{K}{m}}\,t\right)
y(t)=\dfrac{v}{\sqrt{K/m}}\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{K}{m}}\,t\right)

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