Considere o movimento de uma partícula de massa
sobre a influência de uma força
, em que
é positivo e constante e
é o vetor posição da partícula. Encontre a posição da partícula em função do tempo assumindo que em
.
Passo 1
O enunciado pede a posição da partícula em função do tempo sabendo que a força sobre ela é
com
. As condições iniciais em
são:
Informações relevantes dadas:
A missão é achar as funções
e
que descrevem a posição da partícula para todo
.
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton para a partícula temos:
onde
e
. Isso é uma equação vetorial de segundo ordem. Como a força é proporcional a
componente a componente, as componentes se separam: temos duas equações escalares independentes
Vou explicar o que isso significa: cada coordenada se comporta como um oscilador harmônico simples (uma mola) independente da outra, porque a força na direção
depende só de
, e a força na direção
depende só de
.
Passo 3
Reescrevo cada equação no formato padrão de oscilador harmônico. Defino a frequência angular
Então as equações ficam
Agora explico como resolver uma equação do tipo
. É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Uma maneira mecânica é tentar soluções do tipo
. Substituindo dá
, então
. Com raízes imaginárias, a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aplicando isso às duas coordenadas, as soluções gerais são
com
constantes a determinar.
Passo 4
Agora uso as condições iniciais para achar
. Primeiro em
:
portanto
A velocidade
é
então em
Como
, segue
Passo 5
Faço o mesmo para
. Em
:
e como
obtemos
A velocidade
é
Em
isso dá
Como
, obtemos
Passo 6
Agora interpreto o que os valores das constantes significam e, se quiser, descrevo a trajetória. Com os valores encontrados temos:
Fisicamente,
começa em
com velocidade zero, portanto executa oscilações em torno da origem;
começa em
com velocidade
, então executa oscilações defasadas em relação a
. Se quisermos ver a forma da trajetória no plano
, eliminamos o tempo:
Usando
obtemos a equação elíptica
logo a partícula descreve uma elipse centrada na origem. Um caso particular: se
a elipse é um círculo de raio
. O período das oscilações em cada direção é