Mostre que o momento de inércia de um anel fino e uniforme de raio
e massa
em relação a um eixo que passa perpendicular ao seu centro é dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o momento de inércia de um anel fino e uniforme, de raio
e massa
, em relação a um eixo que passa perpendicular ao anel pelo seu centro, é igual a
.
Informações dadas:
- O corpo é um anel fino (espessura desprezível em comparação com
). - O anel é uniforme (densidade linear constante).
- O raio do anel é
. - A massa total do anel é
. - O eixo passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel.
- Precisamos calcular o momento de inércia
desse anel em relação a esse eixo.
Passo 2
Definição e ideia básica do cálculo:
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo mede a resistência do corpo a mudar seu estado de rotação em torno desse eixo. Para uma distribuição contínua de massa, a definição é
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo mede a resistência do corpo a mudar seu estado de rotação em torno desse eixo. Para uma distribuição contínua de massa, a definição é
onde:
-
é o momento de inércia, -
é a distância, para cada elemento de massa , até o eixo de rotação, -
é um elemento infinitesimal de massa do corpo, - a integral soma (no sentido contínuo)
por toda a massa do corpo.
Explicação do que significa cada termo: imagine dividir o anel em muitos pedacinhos de massa
. Cada pedacinho contribui para
com
, onde
é a distância desse pedacinho até o eixo. Somando todas essas contribuições obtemos
.
Passo 3
Observação geométrica específica do anel:
No caso do anel fino e uniforme, cada pedaço de massa fica exatamente à mesma distância do eixo (porque o eixo passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel). Ou seja, para todo elemento
do anel vale
No caso do anel fino e uniforme, cada pedaço de massa fica exatamente à mesma distância
Isso simplifica muito a integral, pois
é constante ao longo do anel.
Passo 4
Aplicando a definição com
:
Substituindo na definição
obtemos
Substituindo
Como
é constante, pode sair da integral:
Passo 5
Avaliação da integral
:
A integral de sobre todo o corpo é simplesmente a massa total
. Portanto
A integral de
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Método alternativo (pedacinho por pedacinho) — usando densidade linear, para reforçar o raciocínio:
Como o anel é uniforme, a densidade linear (massa por comprimento) é
Como o anel é uniforme, a densidade linear (massa por comprimento) é
Se tomarmos um elemento de comprimento
sobre o anel, sua massa é
. Em coordenadas angulares,
com
variando de
a
. Assim
O momento de inércia fica
Calculando a integral angular e substituindo
:
confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Interpretação física e exemplo simples:
Intuitivamente, como toda a massa do anel está concentrada à mesma distância do eixo, o momento de inércia é igual à massa total vezes o quadrado dessa distância, exatamente
.
Intuitivamente, como toda a massa do anel está concentrada à mesma distância
Um exemplo discreto para visualizar: se o anel fosse substituído por dois pontos de massa
em lados opostos do círculo, o momento de inércia seria
mesmo resultado — isso ilustra porque a continuidade não altera o valor quando todos os pontos estão à mesma distância.