Mostre que o momento de inércia de um anel fino e uniforme de raio R e massa M em relação a um eixo que passa perpendicular ao seu centro é dado por M R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o momento de inércia de um anel fino e uniforme, de raio R e massa M, em relação a um eixo que passa perpendicular ao anel pelo seu centro, é igual a M R^{2}.
Informações dadas:
  • O corpo é um anel fino (espessura desprezível em comparação com R).
  • O anel é uniforme (densidade linear constante).
  • O raio do anel é R.
  • A massa total do anel é M.
  • O eixo passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel.
  • Precisamos calcular o momento de inércia I desse anel em relação a esse eixo.

Passo 2

Definição e ideia básica do cálculo:
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo mede a resistência do corpo a mudar seu estado de rotação em torno desse eixo. Para uma distribuição contínua de massa, a definição é
I=\int r^{2}\,dm
onde:
  • I é o momento de inércia,
  • r é a distância, para cada elemento de massa dm, até o eixo de rotação,
  • dm é um elemento infinitesimal de massa do corpo,
  • a integral soma (no sentido contínuo) r^{2}\,dm por toda a massa do corpo.
Explicação do que significa cada termo: imagine dividir o anel em muitos pedacinhos de massa dm. Cada pedacinho contribui para I com r^{2}dm, onde r é a distância desse pedacinho até o eixo. Somando todas essas contribuições obtemos I.

Passo 3

Observação geométrica específica do anel:
No caso do anel fino e uniforme, cada pedaço de massa fica exatamente à mesma distância R do eixo (porque o eixo passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel). Ou seja, para todo elemento dm do anel vale
r=R.
Isso simplifica muito a integral, pois r^{2} é constante ao longo do anel.

Passo 4

Aplicando a definição com r=R:
Substituindo r=R na definição \;I=\int r^{2}\,dm\; obtemos
I=\int R^{2}\,dm.
Como R^{2} é constante, pode sair da integral:
I=R^{2}\int dm.

Passo 5

Avaliação da integral \int dm:
A integral de dm sobre todo o corpo é simplesmente a massa total M. Portanto
\int dm = M.
Substituindo em I=R^{2}\int dm obtemos
I=R^{2}M.

Passo 6

Método alternativo (pedacinho por pedacinho) — usando densidade linear, para reforçar o raciocínio:
Como o anel é uniforme, a densidade linear (massa por comprimento) é
\lambda=\frac{M}{2\pi R}.
Se tomarmos um elemento de comprimento dl sobre o anel, sua massa é dm=\lambda\,dl. Em coordenadas angulares, dl=R\,d\theta com \theta variando de 0 a 2\pi. Assim
dm=\lambda R\,d\theta.
O momento de inércia fica
I=\int r^{2}\,dm=\int_{0}^{2\pi}R^{2}\bigl(\lambda R\,d\theta\bigr)=R^{3}\lambda\int_{0}^{2\pi}d\theta.
Calculando a integral angular e substituindo \lambda:
I=R^{3}\lambda\cdot 2\pi = R^{3}\cdot\frac{M}{2\pi R}\cdot 2\pi = M R^{2},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação física e exemplo simples:
Intuitivamente, como toda a massa do anel está concentrada à mesma distância R do eixo, o momento de inércia é igual à massa total vezes o quadrado dessa distância, exatamente M R^{2}.
Um exemplo discreto para visualizar: se o anel fosse substituído por dois pontos de massa M/2 em lados opostos do círculo, o momento de inércia seria
I= \frac{M}{2}R^{2} + \frac{M}{2}R^{2} = M R^{2},
mesmo resultado — isso ilustra porque a continuidade não altera o valor quando todos os pontos estão à mesma distância.

Resposta

M R^{2}

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