Considere um movimento unidimensional com velocidade (instantânea) constante.
a) Usando a definição de velocidade instantânea e o teorema fundamental do cálculo, obtenha
x=x_{0}+v t
Indique o que significa cada símbolo dessa equação.
b) Nesse contexto de velocidade constante, empregue a equação (8) para mostrar que a velocidade média e a velocidade instantâncea são iguais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (a) Usando a definição de velocidade instantânea e o teorema fundamental do cálculo, obter a expressão
x = x_{0} + v t
e indicar o que significa cada símbolo dessa equação.
2. (b) No caso de velocidade constante, usar a equação (8) para mostrar que a velocidade média e a velocidade instantânea são iguais.
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
  • O movimento é unidimensional.
  • A velocidade instantânea é constante; denotaremos essa constante por \,v\,.
  • A equação (8) refere-se à velocidade média e é
\bar v = \frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
Não farei mais nenhum cálculo neste passo — só organizei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Definição de velocidade instantânea e enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) — aula rápida e direta.
  • Definição (velocidade instantânea): em movimento unidimensional, a velocidade instantânea em tempo t é a derivada da posição x(t) em relação ao tempo. Em fórmulas:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Aqui \,x(t)\, é a posição no instante t; \frac{dx}{dt} significa a taxa de variação de x por unidade de tempo — ou seja, a inclinação da curva x versus t.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (forma que vamos usar): se x(t) é diferenciável e v(t)=x'(t), então, para quaisquer tempos t_0 e t,
\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds = x(t) - x(t_0).
Explicação simples: integrar a taxa de variação v sobre um intervalo de tempo dá a variação total da posição naquele intervalo. No integrand usei a variável s para não confundir com o limite superior t.

Passo 3

Aplicando a definição e o TFC: partir da igualdade v(t)=\dfrac{dx}{dt} e integrar ambos os lados no intervalo de tempo de referência.
Escrevo a integral da velocidade entre t_0 e t:
\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds = \int_{t_0}^{t} \frac{dx}{dt}\Big|_{t=s}\,ds.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o lado direito é simplesmente a diferença x(t)-x(t_0). Logo:
\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds = x(t)-x(t_0).

Passo 4

Agora uso que a velocidade é constante: \,v(s)=v\, para todo s. Integrar uma constante é trivial:
\int_{t_0}^{t} v\,ds = v\int_{t_0}^{t} 1\,ds = v\,(t-t_0).
Portanto, combinando com o passo anterior,
x(t)-x(t_0) = v\,(t-t_0).

Passo 5

Reorganizando a equação para escrever a posição x(t) explicitamente:
x(t) = x(t_0) + v\,(t-t_0).
Se escolhemos como referência inicial o instante t_0=0 e definimos x_0 := x(0), a fórmula fica mais simples e é exatamente a pedida:
x = x_{0} + v t.
Agora explico o significado de cada símbolo (curto e direto):
  • x: posição do móvel no instante t (unidade: por exemplo metros).
  • x_{0}: posição inicial do móvel no instante de referência t_0 (se tomarmos t_0=0, então x_0=x(0)).
  • v: velocidade instantânea (aqui constante) do movimento — é a taxa de variação da posição por unidade de tempo (por exemplo metros por segundo).
  • t: tempo decorrido desde a referência t_0 (por exemplo segundos).

Passo 6

Parte (b): mostrar que, para velocidade constante, velocidade média e velocidade instantânea coincidem.
Começo lembrando a definição de velocidade média (equação (8) fornecida):
\bar v = \frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
Substituo a expressão linear de x obtida no passo anterior, isto é, para qualquer tempo u,
x(u) = x_0 + v u.
Então,
x(t_2)-x(t_1) = \bigl(x_0 + v t_2\bigr) - \bigl(x_0 + v t_1\bigr) = v(t_2-t_1).
Dividindo pelo intervalo de tempo,
\bar v = \frac{v(t_2-t_1)}{t_2-t_1} = v.

Passo 7

Interpretação intuitiva curta (para fixar): quando x(t) é uma reta com inclinação v (porque x é linear em t), a inclinação média entre quaisquer dois pontos é exatamente a inclinação instantânea em qualquer ponto. Por isso a velocidade média sobre qualquer intervalo é igual à velocidade instantânea (que é a inclinação da reta).
Um exemplo numérico rápido para ficar seguro: se x_0=2 m e v=3 m/s, então x(t)=2+3t. Entre t_1=1 s e t_2=4 s temos x(1)=5 m e x(4)=14 m, então
\bar v = \frac{14-5}{4-1} = \frac{9}{3} = 3\\ \text{m/s},
igual à v.

Resposta

(a) x = x_{0} + v t. Aqui x é a posição no instante t, x_{0} é a posição inicial (em t_0, tipicamente t_0=0), v é a velocidade constante e t é o tempo desde a referência.
(b) \bar v = v.

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