Considere
osciladores harmônicos tridimensionais clássicos não-interagentes, de massa
e frequência angular
, em contato com um reservatório térmico à temperatura
.
a) Escreva a hamiltoniana do sistema e obtenha a função de partição canônica.
b) Obtenha o valor médio da energia por oscilador. Qual a capacidade térmica do sistema?
a)
b)
a) Escreva a hamiltoniana do sistema e obtenha a função de partição canônica.
b) Obtenha o valor médio da energia por oscilador. Qual a capacidade térmica do sistema?
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá
osciladores harmônicos clássicos tridimensionais não-interagentes, de massa
e frequência angular
, em contato com um reservatório térmico à temperatura
. Vamos precisar da definição de hamiltoniana clássica e da função de partição canônica no formalismo de Maxwell–Boltzmann.
Passo 2
A hamiltoniana total é a soma das energias cinética e potencial de cada oscilador:
Passo 3
Na aproximação clássica, a função de partição canônica fatoriza em cada grau de liberdade. Para um oscilador tridimensional temos
com
. Avaliando as integrais de Gauss obtemos
Como os
osciladores são independentes,
Passo 4
A energia média total vem de
Logo, a energia média por oscilador é
Passo 5
A capacidade térmica do sistema é
Resposta
a)
b)