Considere N osciladores harmônicos tridimensionais clássicos não-interagentes, de massa m e frequência angular \omega, em contato com um reservatório térmico à temperatura T.
a) Escreva a hamiltoniana do sistema e obtenha a função de partição canônica.
b) Obtenha o valor médio da energia por oscilador. Qual a capacidade térmica do sistema?
a) H=\sum_{i}\left(\frac{\vec{p}_{i}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} \vec{r}_{i}^{2}\right), Z=\left(\frac{k_{B} T}{\hbar \omega}\right)^{3 N}
b) \langle E\rangle / N=3 k_{B} T, C=3 N k_{B}

Passo 1

O enunciado nos dá N osciladores harmônicos clássicos tridimensionais não-interagentes, de massa m e frequência angular \omega, em contato com um reservatório térmico à temperatura T. Vamos precisar da definição de hamiltoniana clássica e da função de partição canônica no formalismo de Maxwell–Boltzmann.

Passo 2

A hamiltoniana total é a soma das energias cinética e potencial de cada oscilador:
H \;=\;\sum_{i=1}^{N}\,\biggl(\frac{\vec p_{i}^{2}}{2m} \;+\;\frac{1}{2}\,m\,\omega^{2}\,\vec r_{i}^{2}\biggr).

Passo 3

Na aproximação clássica, a função de partição canônica fatoriza em cada grau de liberdade. Para um oscilador tridimensional temos
Z_{1} \;=\;\frac{1}{h^{3}}\int\!d^{3}p\;d^{3}r\;e^{-\beta\bigl(p^{2}/2m + m\omega^{2}r^{2}/2\bigr)},
com \beta=1/(k_{B}T). Avaliando as integrais de Gauss obtemos
Z_{1} \;=\;\bigl(\beta\hbar\omega\bigr)^{-3} \;=\;\bigl(\tfrac{k_{B}T}{\hbar\omega}\bigr)^{3}.
Como os N osciladores são independentes,
Z \;=\;Z_{1}^{\,N} \;=\;\bigl(\tfrac{k_{B}T}{\hbar\omega}\bigr)^{3N}.

Passo 4

A energia média total vem de
\langle E\rangle \;=\; -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z \;=\;-N\,\frac{\partial}{\partial\beta}\bigl[-3\ln(\beta\hbar\omega)\bigr] \;=\;\frac{3N}{\beta} \;=\;3N\,k_{B}T.
Logo, a energia média por oscilador é
\frac{\langle E\rangle}{N} \;=\;3\,k_{B}T.

Passo 5

A capacidade térmica do sistema é
C \;=\;\frac{d\langle E\rangle}{dT} \;=\;3N\,k_{B}.

Resposta

a)
H=\sum_{i=1}^{N}\Bigl(\frac{\vec p_{i}^{2}}{2m}+\frac12\,m\,\omega^{2}\,\vec r_{i}^{2}\Bigr), \qquad Z=\bigl(\tfrac{k_{B}T}{\hbar\omega}\bigr)^{3N}.
b)
\frac{\langle E\rangle}{N}=3\,k_{B}T, \qquad C=3\,N\,k_{B}.

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