A energia de um oscilador harmônico quântico é
. Mostre que a função de partição canônica é
Obtenha a energia interna, a capacidade térmica, a energia livre de Helmholtz
e a entropia
.
Passo 1
O enunciado dá as energias quânticas de um oscilador harmônico
e pede a função de partição canônica , a energia interna
, a capacidade térmica
, a energia livre de Helmholtz
e a entropia
.
Conteúdo: mecânica estatística quântica. Vamos usar a definição
com , depois usar as relações
,
,
e
.
e pede a função de partição canônica
Conteúdo: mecânica estatística quântica. Vamos usar a definição
com
Passo 2
Calcular a soma da série para
. Substituindo
:
A soma geométrica vale
para
. Aqui
, portanto
Passo 3
Obter a energia livre de Helmholtz
Passo 4
Calcular a energia interna pela relação
Temos
. Logo
Passo 5
Determinar a capacidade térmica
.
Use e note que
.
Aplicando ao termo obtém-se
Use
Aplicando ao termo
Passo 6
Calcular a entropia pelo fato de
.
Também vale a forma de Legendre . Usando
e
anteriores, chegamos a
Também vale a forma de Legendre