A energia de um oscilador harmônico quântico é E_{n}=(n+1 / 2) \hbar \omega. Mostre que a função de partição canônica é
Z=\frac{e^{-\frac{1}{2} \beta \hbar \omega}}{1-e^{-\beta \hbar \omega}} .
Obtenha a energia interna, a capacidade térmica, a energia livre de Helmholtz F e a entropia S.

Passo 1

O enunciado dá as energias quânticas de um oscilador harmônico \displaystyle E_{n} = \bigl(n+\tfrac12\bigr)\hbar\omega
e pede a função de partição canônica \displaystyle Z, a energia interna U, a capacidade térmica C_{V}, a energia livre de Helmholtz F e a entropia S.
Conteúdo: mecânica estatística quântica. Vamos usar a definição \displaystyle Z=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_{n}}
com \displaystyle\beta=1/(k_{B}T), depois usar as relações \displaystyle U=-\partial_{\beta}\ln Z, \displaystyle F=-\tfrac{1}{\beta}\ln Z, \displaystyle C_{V}=\partial_{T}U e \displaystyle S=-\partial_{T}F.

Passo 2

Calcular a soma da série para Z. Substituindo E_{n}:
Z=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta\hbar\omega(n+\tfrac12)} =e^{-\frac12\beta\hbar\omega}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(e^{-\beta\hbar\omega}\bigr)^{n}.
A soma geométrica vale \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1/(1-x) para |x|<1. Aqui x=e^{-\beta\hbar\omega}, portanto
Z =e^{-\frac12\beta\hbar\omega}\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}.

Passo 3

Obter a energia livre de Helmholtz
F=-\frac{1}{\beta}\ln Z =-\frac{1}{\beta}\Bigl[-\tfrac12\beta\hbar\omega-\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr)\Bigr] =\tfrac12\hbar\omega+\frac{1}{\beta}\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr).

Passo 4

Calcular a energia interna pela relação
U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z.
Temos \ln Z=-\tfrac12\beta\hbar\omega-\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr). Logo
U =-\Bigl[-\tfrac12\hbar\omega-\frac{-\hbar\omega\,e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\Bigr] =\tfrac12\hbar\omega+\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}.

Passo 5

Determinar a capacidade térmica \displaystyle C_{V}=\frac{\partial U}{\partial T}.
Use \beta=1/(k_{B}T) e note que \displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=-\frac{1}{k_{B}T^{2}}\frac{\partial}{\partial\beta}.
Aplicando ao termo U(\beta) obtém-se
C_{V} =k_{B}(\beta\hbar\omega)^{2}\frac{e^{\beta\hbar\omega}}{\bigl(e^{\beta\hbar\omega}-1\bigr)^{2}}.

Passo 6

Calcular a entropia pelo fato de \displaystyle S=-\frac{\partial F}{\partial T}.
Também vale a forma de Legendre S=(U-F)/T. Usando U e F anteriores, chegamos a
S =k_{B}\Bigl[\frac{\beta\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}-\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr)\Bigr].

Resposta

Z=\frac{e^{-\frac12\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}},
U=\tfrac12\hbar\omega+\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1},
C_{V} =k_{B}(\beta\hbar\omega)^{2}\frac{e^{\beta\hbar\omega}}{\bigl(e^{\beta\hbar\omega}-1\bigr)^{2}},
F=\tfrac12\hbar\omega+\frac{1}{\beta}\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr),
S =k_{B}\Bigl[\frac{\beta\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}-\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr)\Bigr].

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