Mostre que o número de microestados de um gás ideal clássico é
Passo 1
O enunciado pede calcular o número de microestados
de um gás ideal clássico no ensemble microcanônico, ou seja, a quantidade de células de volume
no espaço de fases cujos pontos satisfazem
. Vamos usar a definição via integral sobre todo o espaço de fases de
dimensões, separar a parte de posição e de momento, e empregar a fórmula do volume de uma hiperesfera em
.
Passo 2
Pela definição clássica,
Como o hamiltoniano
não depende de
, separam-se as integrais em
e em
.
Passo 3
A integral sobre as coordenadas de posição é imediata, pois cada partícula pode estar em qualquer ponto do volume
. Assim,
Passo 4
A parte de momento fica
Por outro lado, o volume de uma hiperesfera de raio
em dimensões é
em
Derivando em relação a
obtemos a densidade de estados em momento:
Passo 5
Reunindo as partes de posição e de momento e incluindo o fator
, chega-se a