Mostre que o número de microestados de um gás ideal clássico é
\Omega(E, V, N)=\frac{V^{N}}{h^{3 N}} \frac{\pi^{3 N / 2}}{\Gamma(3 N / 2)}(2 m)^{3 N / 2} E^{3 N / 2-1} \delta E .

Passo 1

O enunciado pede calcular o número de microestados \Omega(E,V,N) de um gás ideal clássico no ensemble microcanônico, ou seja, a quantidade de células de volume h^{3N} no espaço de fases cujos pontos satisfazem E\le H(p)\le E+\delta E. Vamos usar a definição via integral sobre todo o espaço de fases de 3N dimensões, separar a parte de posição e de momento, e empregar a fórmula do volume de uma hiperesfera em \R^{3N}.

Passo 2

Pela definição clássica,
\Omega(E,V,N) =\frac{1}{h^{3N}} \int d^{3N}q \,d^{3N}p\; \delta\Bigl(E-\sum_{i=1}^{N}\frac{p_i^2}{2m}\Bigr)\,\delta E.
Como o hamiltoniano H=\sum p_i^2/(2m) não depende de q, separam-se as integrais em q e em p.

Passo 3

A integral sobre as coordenadas de posição é imediata, pois cada partícula pode estar em qualquer ponto do volume V. Assim,
\int d^{3N}q = V^N.

Passo 4

A parte de momento fica
\int d^{3N}p\;\delta\!\Bigl(E-\sum_{i=1}^{N}\tfrac{p_i^2}{2m}\Bigr) =\frac{d}{dE}\int d^{3N}p\;\theta\!\Bigl(E-\sum_{i=1}^{N}\tfrac{p_i^2}{2m}\Bigr).
Por outro lado, o volume de uma hiperesfera de raio \displaystyle R=\sqrt{2mE}
em d=3N dimensões é
\int_{|\vec p|\le R}d^{d}p =\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\tfrac d2+1)}\,R^{d} =\frac{\pi^{3N/2}}{\Gamma(\tfrac{3N}{2}+1)}\,(2mE)^{3N/2}.
Derivando em relação a E obtemos a densidade de estados em momento:
\int d^{3N}p\;\delta\!\Bigl(E-\tfrac{p^2}{2m}\Bigr) =\frac{\pi^{3N/2}}{\Gamma(\tfrac{3N}{2})}\,(2m)^{3N/2}\,E^{3N/2-1}.

Passo 5

Reunindo as partes de posição e de momento e incluindo o fator 1/h^{3N}, chega-se a
\Omega(E,V,N) =\frac{V^N}{h^{3N}} \;\frac{\pi^{3N/2}}{\Gamma(\tfrac{3N}{2})}\;(2m)^{3N/2}\;E^{3N/2-1}\;\delta E.

Resposta

\Omega(E, V, N) =\frac{V^{N}}{h^{3 N}} \frac{\pi^{3 N / 2}}{\Gamma\bigl(\tfrac{3 N}{2}\bigr)} (2 m)^{3 N / 2} E^{3 N / 2-1} \,\delta E.

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