Considere
pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares. Quantas são as retas que contêm dois desses pontos? Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?
Passo 1
O enunciado dá
pontos no plano, com
e sem três colineares, e pede:
– o número de retas que passam por dois desses pontos;
– o número máximo de pontos de interseção entre essas retas.
Conteúdo: contagem de combinações e posições gerais de linhas (sem paralelismo e sem concórdios extras).
– o número de retas que passam por dois desses pontos;
– o número máximo de pontos de interseção entre essas retas.
Conteúdo: contagem de combinações e posições gerais de linhas (sem paralelismo e sem concórdios extras).
Passo 2
Cada reta é determinada por um par de pontos distintos. O número de maneiras de escolher 2 pontos dentre
é
Logo há
retas distintas.
Passo 3
Para contar os pontos de interseção distintos, note que toda interseção de duas retas cai em dois tipos de ponto:
- um dos
pontos originais (quando as duas retas compartilham esse ponto); - uma interseção “nova” de duas retas que não têm ponto em comum (isto é, vêm de pares disjuntos de pontos originais).
Passo 4
O número de interseções novas equivale ao número de escolhas de dois pares disjuntos de pontos. Para isso escolhemos 4 pontos dentre
e em seguida particionamos esses 4 em dois pares. Em um conjunto de 4 pontos há exatamente 3 formas de emparelhar em dois subconjuntos de tamanho 2. Portanto o total de interseções novas é
Passo 5
Somando as interseções nos pontos originais aos pontos novos, o número máximo de pontos de interseção distintos é
Resposta
Número de retas:
Número máximo de pontos de interseção:
Número máximo de pontos de interseção: