Determine o valor de x para que seja verdadeira a identidade
C_{15}^{x-1}=C_{15}^{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar x tal que
C_{15}^{\,x-1} \;=\; C_{15}^{\,2x+1}.
O conteúdo aqui é a propriedade de simetria dos coeficientes binomiais, que diz que para todo n e k vale
C_{n}^{\,k} = C_{n}^{\,n-k}.
Vamos usar essa propriedade para igualar os índices.

Passo 2

Para que C_{15}^{\,k} = C_{15}^{\,m} sejam iguais, temos duas possibilidades:
  1. k = m.
  2. k = 15 - m.
    No nosso caso k = x - 1 e m = 2x + 1.

Passo 3

Analisando a primeira possibilidade x - 1 = 2x + 1, temos
x - 1 = 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad - x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.

Passo 4

Analisando a segunda possibilidade x - 1 = 15 - (2x + 1), obtém-se
x - 1 = 15 - 2x - 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 14 - 2x \quad\Longrightarrow\quad 3x = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.

Passo 5

Precisamos verificar se os índices ficam no intervalo válido 0 \le k,m \le 15:
  • Para x = -2:
    \,k = x - 1 = -3 (fora de [0,15]), inválido.
  • Para x = 5:
    \,k = 5 - 1 = 4 e m = 2\cdot5 + 1 = 11, ambos em [0,15], válidos.

Resposta

O único valor de x que satisfaz a identidade é \boxed{5}.

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