De quantos modos é possível colocar em fila h homens e m mulheres, todos de alturas diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de alturas?

Passo 1

O enunciado nos dá h homens e m mulheres, todos com alturas distintas, e pede o número de filas de comprimento h+m em que, dentro de cada grupo, as alturas apareçam em ordem crescente. O conteúdo aqui é intercalar duas sequências já ordenadas (os homens e as mulheres).

Passo 2

Como a ordem interna de homens e de mulheres é fixa (sempre crescente), cada disposição válida se reduz a escolher quais h das h+m posições da fila serão ocupadas pelos homens; as demais ficarão com as mulheres. Uma vez escolhidas essas posições, a atribuição de pessoas às posições fica totalmente determinada.

Passo 3

O número de maneiras de escolher h posições entre h+m é o coeficiente binomial correspondente:
\binom{h + m}{h}.

Resposta

\displaystyle \binom{h + m}{h}

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