Considere uma nanopartícula esférica isolante com raio R, que está suspensa no vácuo depois de perder 2025 elétrons ao interagir com fótons de raios-X.
Sabendo que a carga líquida da nanopartícula está distribuída de forma não uniforme de acordo com:
rho(r)=rho0(1-rR), para 0 <= r <= R
Por gentileza, determine:
A constante rhoo em função de Q e R, com seu sinal e suas unidades.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado tá pedindo é: a gente tem uma nanopartícula esférica de raio rho(r)=rho0l(1-rRr)para 0<= r<= R que perdeu elétrons e ficou com carga líquida . A densidade de carga dentro dela não é constante, é
O conteúdo da matéria é cálculo de integrais em coordenadas esféricas pra achar carga total a partir da densidade volumétrica. Para resolver a gente vai usar:
  • A definição de carga total .
  • O elemento de volume em esferas: .
  • No fim, isolamos .

Passo 2

Escrever a integral da carga total:
Q=integralVrho(r),dV =integral0^Rrho0l(1-rRr),4pi r^2,dr
Aqui explicando: a gente integrou só na direção radial porque a densidade só depende de , e o já cobre todo o ângulo (θ,φ).

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
Q =4pi rho0integral0^Rl(r^2-r^3Rr),dr =4pi rho0l[integral0^Rr^2dr ;-;1Rintegral0^Rr^3drr]
Calculando cada uma:
Q =4pi rho0l(R^33-1RcdotR^44r) =4pi rho0l(R^33-R^34r) =4pi rho0,R^3l(13-14r) e
Q=4pi rho0R^3,112 =pi3,rho0R^3
Então
E Logo,

Passo 4

Só isolar rho0 =3,Qpi,R^3 :
[rho0]=Cm^3
Como o nanopartícula perdeu elétrons, , logo também fica positivo.
Em termos de unidades: em coulombs e em metros, ficamos com

Resposta

boxedrho0=3,Qpi,R^3, positiva, em C/m^3

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