Sabemos que o campo elétrico dentro da região de uma fonte que está no vácuo é descrito por
E(r)=r 12epsilon0 2 pi^2 r[1-alpha cos (phi)]sin (theta)
em que alpha é uma constante.
Descreva, em poucas palavras, qual é o efeito de fazermos alpha 0 na equação acima na quantidade de carga total.

Passo 1

Então, o enunciado nos dá um campo elétrico em coordenadas esféricas dentro do vácuo:
E(r,theta,phi)=r,12varepsilon0,2pi^2,r,[1-alphacosphi]sintheta
e pede pra dizer rapidamente o que acontece com a carga total quando a gente faz .
Aqui o conteúdo é Lei de Gauss em eletrostática: a gente vai usar que o fluxo de por uma superfície fecha dá a carga interna dividida por . Precisamos integrar na esfera e ver o papel do termo com .

Passo 2

Lei de Gauss diz
PhiE=ointSEcdot dA=Qrm intvarepsilon0,
Num casca esférica de raio Ecdot dA =12varepsilon0,2pi^2,r[1-alphacosphi]sintheta;r^2sintheta,dtheta,dphi =12,r^3varepsilon0,2pi^2l[1-alphacosphir],dtheta,dphi, , , então
$$\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}
=\frac{12}{\varepsilon_0,2\pi2},\frac{r[1-\alpha\cos\phi]}{\sin\theta};r2\sin\theta,d\theta,d\phi
=\frac{12,r3}{\varepsilon_0,2\pi2}\bigl[1-\alpha\cos\phi\bigr],d\theta,d\phi,. $$

Passo 3

Agora integramos sobre PhiE =12,r^3varepsilon0,2pi^2integral0^pi!!dthetaintegral0^2pi!(1-alphacosphi),dphi =12,r^3varepsilon0,2pi^2l[underbraceintegral0^pi dthetaintegral0^2pidphi=picdot2pi ;-;alphaintegral0^pi dthetaintegral0^2picosphi,dphir] e :
Mas , então o termo com cai fora.

Passo 4

Fica
$$\Phi_E=\frac{12,r3}{\varepsilon_0,2\pi2}\times(2\pi^2)
=\frac{12,r^3}{\varepsilon_0},. $$
Pela Lei de Gauss, PhiE=12,r^3varepsilon0,2pi^2times(2pi^2) =12,r^3varepsilon0, . A parte com não altera nada no valor total, porque seu fluxo integra zero.

Resposta

Quando , não muda nada na carga total — o termo só dá flutuações angulares, mas não contribui para o fluxo total.

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