Qual o período P de revolução de um satélite artificial a uma órbita circular de raio R ao redor da Terra? (dado: raio da Terra =6.4 times 10^6 m ). Qual a raio de órbita de um satélite síncrono com a Terra?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. A fórmula e valor do período de revolução de um satélite que faz órbita circular de raio em torno da Terra.
  2. O raio de órbita de um satélite síncrono (aquele que fica “parado” em relação ao solo).
    Conteúdo: mecânica de órbitas – vamos usar a Lei da Gravitação Universal e a força centrípeta. Precisamos de (constante gravitacional), da massa da Terra (ou do produto ) e, para o satélite síncrono, do período de rotação da Terra (~24 h).

Passo 2

Primeiro, lembre que para um corpo de massa Fg = G,M,mR^2 e Fc = m,R,omega^2 em órbita circular de raio G,M,mR^2 = m,R,omega^2 :
força gravitacional = força centrípeta
omega^2 = G,MR^3 Longrightarrow omega = raizG,MR^3
Como são iguais:
2piP = raizG,MR^3 ;Longrightarrow; P = 2pi,raizR^3G,M
Cancelamos e isolamos :
E como , temos

Passo 3

Então o período geral é
boxedP = 2pi,raizR^3G,M
Na prática usamos , mas a fórmula vale pra qualquer .

Passo 4

Agora, para o satélite síncrono, queremos que Prm sid = 23,h;56,minapprox 86164,s seja igual ao dia sideral da Terra, cerca de
Rrm sync = l(G,M4pi^2;Prm sid^2r)^1/3
Basta colocar esse na fórmula e resolver para :

Passo 5

Fazendo as contas com Rrm sync approx gl(3,986times10^14times(86164)^24pi^2gr)^1/3 approx 4,22times10^7;m e :

Resposta

Período de qualquer órbita circular de raio P = 2pi,raizR^3G,M :
Rrm syncapprox 4,22times10^7;m
Raio de órbita síncrona (período ≃ 24 h):

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