Considere que as notas da primeira avaliação de estatística possuem distribuição normal com média 50 e desvio padrão de 16 pontos. Se o professor deseja aprovar os 10% melhores da turma já na P1, qual a nota corte para ser aprovado?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a nota corte que separa os 10% melhores da turma já na P1. Informações dadas:
- As notas da primeira avaliação seguem distribuição normal com média
e desvio padrão . - O professor quer aprovar os
melhores alunos com base nessa distribuição.
Pergunta a responder: qual é a nota mínimatal que quem tirar ou mais esteja entre os melhores?
Passo 2
Entendendo o que significa “os
melhores”: isso quer dizer que a probabilidade de um aluno obter uma nota maior ou igual à nota corte
é
. Em termos de probabilidade acumulada à esquerda (mais usado com tabelas de normal), isso é equivalente a:
Ou seja,
é o percentil de ordem
(o
-quantil) da distribuição de
. Pegue leve: top
= 90º percentil.
Passo 3
Para trabalhar com a normal, usamos a padronização (transformar em normal padrão). Definição e fórmula:
- Seja
a nota com , ou seja média e desvio padrão . - A normal padrão
tem média e desvio padrão , e é denotada . - A padronização é dada por
Aqui
é a média de
(aqui
) e
é o desvio padrão de
(aqui
). Essa fórmula permite transformar uma probabilidade sobre
em uma probabilidade sobre
, que consultamos em tabela da normal padrão ou calculadora.
Passo 4
Aplicando a padronização ao nosso requisito
:
Chamando
o valor tal que
, precisamos achar esse
(é o quantil 0,90 da normal padrão). Em tabelas de
ou usando função inversa da normal, o valor é aproximadamente
Comentário prático: se estiveres com tabela, procura a probabilidade mais próxima de
e lê o
; em calculadora usa a função inversa (por exemplo
ou
).
Passo 5
Agora voltamos para
. Da igualdade de padronização:
Isolando
:
Substituindo
,
e
:
Calcule passo a passo o produto:
Logo
Passo 6
Interpretação e arredondamento: a nota corte exata (com a precisão do
usado) é
. Em contexto de notas, costuma-se arredondar para uma casa decimal ou para inteiro. Então uma forma prática é usar
pontos (arredondando para uma casa decimal) ou, se o professor exige inteiro, arredondar para
pontos (dependendo da regra de arredondamento adotada pelo professor). Para checar: padronizando
e
, ou seja, 10% ficam acima dessa nota — perfeito.