Considere que as notas da primeira avaliação de estatística possuem distribuição normal com média 50 e desvio padrão de 16 pontos. Se o professor deseja aprovar os 10% melhores da turma já na P1, qual a nota corte para ser aprovado?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a nota corte que separa os 10% melhores da turma já na P1. Informações dadas:
  • As notas da primeira avaliação seguem distribuição normal com média \mu=50 e desvio padrão \sigma=16.
  • O professor quer aprovar os 10\% melhores alunos com base nessa distribuição.
    Pergunta a responder: qual é a nota mínima x tal que quem tirar x ou mais esteja entre os 10\% melhores?

Passo 2

Entendendo o que significa “os 10\% melhores”: isso quer dizer que a probabilidade de um aluno obter uma nota maior ou igual à nota corte x é 0{,}10. Em termos de probabilidade acumulada à esquerda (mais usado com tabelas de normal), isso é equivalente a:
P(X \ge x)=0{,}10 \quad\Longleftrightarrow\quad P(X \le x)=0{,}90.
Ou seja, x é o percentil de ordem 90\% (o 0{,}90-quantil) da distribuição de X. Pegue leve: top 10\% = 90º percentil.

Passo 3

Para trabalhar com a normal, usamos a padronização (transformar em normal padrão). Definição e fórmula:
  • Seja X a nota com X\sim N(\mu,\sigma^2), ou seja média \mu e desvio padrão \sigma.
  • A normal padrão Z tem média 0 e desvio padrão 1, e é denotada Z\sim N(0,1).
  • A padronização é dada por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média de X (aqui \mu=50) e \sigma é o desvio padrão de X (aqui \sigma=16). Essa fórmula permite transformar uma probabilidade sobre X em uma probabilidade sobre Z, que consultamos em tabela da normal padrão ou calculadora.

Passo 4

Aplicando a padronização ao nosso requisito P(X\le x)=0{,}90:
P\!\left(Z \le \frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0{,}90.
Chamando z_{0{,}90} o valor tal que P(Z\le z_{0{,}90})=0{,}90, precisamos achar esse z_{0{,}90} (é o quantil 0,90 da normal padrão). Em tabelas de Z ou usando função inversa da normal, o valor é aproximadamente
z_{0{,}90}\approx 1{,}28155\quad(\text{comum arredondar para }1{,}2816).
Comentário prático: se estiveres com tabela, procura a probabilidade mais próxima de 0{,}9000 e lê o z; em calculadora usa a função inversa (por exemplo \text{invNorm}(0,90) ou \Phi^{-1}(0{,}90)).

Passo 5

Agora voltamos para x. Da igualdade de padronização:
\frac{x-\mu}{\sigma}=z_{0{,}90}.
Isolando x:
x=\mu + z_{0{,}90}\sigma.
Substituindo \mu=50, \sigma=16 e z_{0{,}90}\approx 1{,}28155:
x = 50 + 1{,}28155\cdot 16.
Calcule passo a passo o produto:
1{,}28155\cdot 16 = 1{,}28155\cdot(10+6)=12{,}8155 + 7{,}6893 = 20{,}5048.
Logo
x = 50 + 20{,}5048 = 70{,}5048.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: a nota corte exata (com a precisão do z usado) é x\approx 70{,}5048. Em contexto de notas, costuma-se arredondar para uma casa decimal ou para inteiro. Então uma forma prática é usar x\approx 70{,}5 pontos (arredondando para uma casa decimal) ou, se o professor exige inteiro, arredondar para 71 pontos (dependendo da regra de arredondamento adotada pelo professor). Para checar: padronizando \frac{70{,}5048-50}{16}=1{,}28155 e P(Z\ge1{,}28155)=0{,}10, ou seja, 10% ficam acima dessa nota — perfeito.

Resposta

\approx 70{,}5 pontos

Exercícios relacionados