Suponha que uma aeronave possui
motores e que eles funcionam de forma independente, falhando com probabilidade
. Se a aeronave consegue voar com pelo menos a maioria dos motores funcionando, para quais valores de
um avião de cinco motores é preferível a um de três motores?
Passo 1
O enunciado pede que a gente compare duas aeronaves: uma com
motores e outra com
motores. Cada motor funciona (não falha) com probabilidade
e falha com probabilidade
, e os motores são independentes. A aeronave consegue voar se pelo menos a maioria dos motores funcionar. A pergunta é: para quais valores de
a aeronave de cinco motores é preferível à de três motores (ou seja, tem maior probabilidade de conseguir voar)?
Informações relevantes dadas:
- Probabilidade de um motor funcionar:
, com . - Motores independentes.
- Critério de voo: pelo menos a maioria dos motores funcionando.
- Para
: é preciso pelo menos motores funcionando. - Para
: é preciso pelo menos motores funcionando.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Explicando o modelo que usamos: cada motor é um ensaio de Bernoulli com sucesso “motor funcionando” com probabilidade
. Se temos
motores independentes, a distribuição do número de motores que funcionam é binomial. A fórmula para a probabilidade de exatamente
motores funcionarem é
onde
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher
motores entre
. Ex.:
porque há 3 escolhas de quais 2 motores funcionam entre 3.
Para achar a probabilidade de "pelo menos
" motores funcionando, somamos as probabilidades de
.
Passo 3
Calculando a probabilidade de a aeronave de
motores voar. Ela voa se
ou
motores funcionarem. Então
Substituindo
e
,
Agora simplifico essa expressão: fatoro
,
Portanto
Passo 4
Calculando a probabilidade de a aeronave de
motores voar. Ela voa se
,
ou
motores funcionarem. Logo
Usando
,
,
,
Fatoro
para simplificar:
Agora desenvolvo os termos dentro do parêntese:
. Então
e
Somando tudo:
Portanto
Passo 5
Queremos saber para quais
vale
. Escrevo a desigualdade:
Como
, temos
e podemos dividir ambos os lados por
sem mudar o sinal:
Passo 6
Continuo a manipular para obter um polinômio cujo sinal analisaremos. Levo tudo para o lado esquerdo:
Faço a multiplicação e a subtração:
Agrupo termos semelhantes:
Fatoro
(para simplificar):
Agora fatoro o polinômio cúbico dentro do parêntese. Observando
é raiz (teste rápido:
), então
é um fator. Fazendo a divisão ou fatorando,
O quadrático
pode ser fatorado também (discriminante
), dando
Assim o cúbico fica
Substituindo de volta:
Então a desigualdade
equivale a
Passo 7
Analiso o sinal do produto
:
- O fator
é positivo. - O fator
é sempre não-negativo e só é zero em . Como , para todo no intervalo aberto (exceto no limite que não é permitido pelo enunciado). - O sinal do produto depende, portanto, do fator
.
Logo a desigualdade é equivalente a
ou seja
Interpretação final: se
a probabilidade de cada motor funcionar é alta o suficiente para que ter mais motores (5) aumente a chance de uma maioria funcionar; se
motores têm probabilidade baixa de funcionar e acrescentar motores aumenta a chance de falhas suficientes para prejudicar a maioria, de modo que o avião de
motores é preferível. No caso limite
as duas configurações têm exatamente a mesma probabilidade de voo.
Força aí — você já tem a resposta limpa para decorar para a prova.