Suponha que uma aeronave possui n motores e que eles funcionam de forma independente, falhando com probabilidade 1-p, 0<p<1. Se a aeronave consegue voar com pelo menos a maioria dos motores funcionando, para quais valores de p um avião de cinco motores é preferível a um de três motores?

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare duas aeronaves: uma com 3 motores e outra com 5 motores. Cada motor funciona (não falha) com probabilidade p e falha com probabilidade 1-p, e os motores são independentes. A aeronave consegue voar se pelo menos a maioria dos motores funcionar. A pergunta é: para quais valores de p a aeronave de cinco motores é preferível à de três motores (ou seja, tem maior probabilidade de conseguir voar)?
Informações relevantes dadas:
  • Probabilidade de um motor funcionar: \;p, com 0<p<1.
  • Motores independentes.
  • Critério de voo: pelo menos a maioria dos motores funcionando.
  • Para n=3: é preciso pelo menos 2 motores funcionando.
  • Para n=5: é preciso pelo menos 3 motores funcionando.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Explicando o modelo que usamos: cada motor é um ensaio de Bernoulli com sucesso “motor funcionando” com probabilidade \;p. Se temos n motores independentes, a distribuição do número de motores que funcionam é binomial. A fórmula para a probabilidade de exatamente k motores funcionarem é
\Pr(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher k motores entre n. Ex.: \binom{3}{2}=3 porque há 3 escolhas de quais 2 motores funcionam entre 3.
Para achar a probabilidade de "pelo menos m" motores funcionando, somamos as probabilidades de k=m,m+1,\dots,n.

Passo 3

Calculando a probabilidade de a aeronave de 3 motores voar. Ela voa se 2 ou 3 motores funcionarem. Então
P_{3}=\Pr(\text{voo com 3 motores})=\binom{3}{2}p^{2}(1-p)+\binom{3}{3}p^{3}.
Substituindo \binom{3}{2}=3 e \binom{3}{3}=1,
P_{3}=3p^{2}(1-p)+p^{3}.
Agora simplifico essa expressão: fatoro p^{2},
P_{3}=p^{2}\bigl(3(1-p)+p\bigr)=p^{2}(3-3p+p)=p^{2}(3-2p).
Portanto
P_{3}=p^{2}(3-2p).

Passo 4

Calculando a probabilidade de a aeronave de 5 motores voar. Ela voa se 3, 4 ou 5 motores funcionarem. Logo
P_{5}=\binom{5}{3}p^{3}(1-p)^{2}+\binom{5}{4}p^{4}(1-p)+\binom{5}{5}p^{5}.
Usando \binom{5}{3}=10, \binom{5}{4}=5, \binom{5}{5}=1,
P_{5}=10p^{3}(1-p)^{2}+5p^{4}(1-p)+p^{5}.
Fatoro p^{3} para simplificar:
P_{5}=p^{3}\bigl(10(1-p)^{2}+5p(1-p)+p^{2}\bigr).
Agora desenvolvo os termos dentro do parêntese: (1-p)^{2}=1-2p+p^{2}. Então
10(1-p)^{2}=10-20p+10p^{2},
e
5p(1-p)=5p-5p^{2}.
Somando tudo:
10-20p+10p^{2}+5p-5p^{2}+p^{2}=10-15p+6p^{2}.
Portanto
P_{5}=p^{3}(10-15p+6p^{2}).

Passo 5

Queremos saber para quais p vale P_{5}>P_{3}. Escrevo a desigualdade:
p^{3}(10-15p+6p^{2})>p^{2}(3-2p).
Como 0<p<1, temos p^{2}>0 e podemos dividir ambos os lados por p^{2} sem mudar o sinal:
p(10-15p+6p^{2})>3-2p.

Passo 6

Continuo a manipular para obter um polinômio cujo sinal analisaremos. Levo tudo para o lado esquerdo:
p(10-15p+6p^{2})-(3-2p)>0.
Faço a multiplicação e a subtração:
10p-15p^{2}+6p^{3}-3+2p>0.
Agrupo termos semelhantes:
6p^{3}-15p^{2}+12p-3>0.
Fatoro 3 (para simplificar):
3\bigl(2p^{3}-5p^{2}+4p-1\bigr)>0.
Agora fatoro o polinômio cúbico dentro do parêntese. Observando p=1 é raiz (teste rápido: 2-5+4-1=0), então (p-1) é um fator. Fazendo a divisão ou fatorando,
2p^{3}-5p^{2}+4p-1=(p-1)(2p^{2}-3p+1).
O quadrático 2p^{2}-3p+1 pode ser fatorado também (discriminante =1), dando
2p^{2}-3p+1=(2p-1)(p-1).
Assim o cúbico fica
2p^{3}-5p^{2}+4p-1=(p-1)^{2}(2p-1).
Substituindo de volta:
6p^{3}-15p^{2}+12p-3=3(p-1)^{2}(2p-1).
Então a desigualdade P_{5}>P_{3} equivale a
3(p-1)^{2}(2p-1)>0.

Passo 7

Analiso o sinal do produto 3(p-1)^{2}(2p-1):
  • O fator 3 é positivo.
  • O fator (p-1)^{2} é sempre não-negativo e só é zero em p=1. Como 0<p<1, (p-1)^{2}>0 para todo p no intervalo aberto (0,1) (exceto no limite p\to1 que não é permitido pelo enunciado).
  • O sinal do produto depende, portanto, do fator (2p-1).
Logo a desigualdade é equivalente a
2p-1>0,
ou seja
p>\tfrac{1}{2}.
Interpretação final: se p>\tfrac{1}{2} a probabilidade de cada motor funcionar é alta o suficiente para que ter mais motores (5) aumente a chance de uma maioria funcionar; se p<\tfrac{1}{2} motores têm probabilidade baixa de funcionar e acrescentar motores aumenta a chance de falhas suficientes para prejudicar a maioria, de modo que o avião de 3 motores é preferível. No caso limite p=\tfrac{1}{2} as duas configurações têm exatamente a mesma probabilidade de voo.
Força aí — você já tem a resposta limpa para decorar para a prova.

Resposta

p>\tfrac{1}{2}

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