A probabilidade de receber um full house em um jogo de texas hold’em é aproximadamente 0.0014 . Qual a probabilidade de você receber, em 1000 rodadas, pelo menos dois full houses?

Passo 1

O enunciado dá a probabilidade de receber um full house em uma rodada como \,0,0014\, e pergunta: qual a probabilidade de, em \,1000\, rodadas, você receber pelo menos dois full houses? \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • Probabilidade de sucesso em cada rodada: \,p = 0,0014\,.\n
  • Número de rodadas independentes: \,n = 1000\,.\n
  • O que se pede: probabilidade de ocorrer pelo menos dois sucessos em \,n\, rodadas , isto é \,P(X \ge 2)\,, onde \,X\, conta quantos full houses ocorrem nas \,1000\, rodadas.\n

Passo 2

Modelagem e fórmula exata (binomial). \n
Quando temos n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p em cada tentativa, a variável aleatória que conta o número de sucessos X segue a distribuição binomial. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é\n
P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde:\n
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas serão sucessos (combinações),\n
  • p^{k} é a probabilidade das k escolhidas serem sucessos,\n
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade das restantes serem fracassos.\n
    Explicando \binom{n}{k} de forma simples: \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}, mas para k=0 e k=1 isso fica muito simples (ver próximo passo).

Passo 3

Reduzir o problema: probabilidade de pelo menos dois sucessos. \n
A forma prática é calcular o complementar (mais simples aqui):\n
P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1).
Agora escrevemos P(X=0) e P(X=1) usando a fórmula binomial:\n
P(X = 0) = (1-p)^{n},\n
P(X = 1) = n\,p\,(1-p)^{n-1}.
Essas duas expressões são fáceis de manipular mesmo sem conhecer combinatória complicada: para k=0 a combinação vale 1 e para k=1 vale n.

Passo 4

Aproximação de Poisson (método rápido e didático). \n
Quando n é grande e p é pequeno, com \lambda = n p moderado, a binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. Aqui temos:\n
\lambda = n p = 1000 \times 0,0014 = 1,4.
Para Y \sim \text{Poisson}(\lambda) vale\n
P(Y = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Logo, aproximando X por Y,\n
P(X \ge 2) \approx 1 - P(Y=0) - P(Y=1) = 1 - e^{-\lambda} - \lambda e^{-\lambda} = 1 - e^{-\lambda}(1+\lambda).
Substituindo \lambda = 1,4:\n
e^{-1,4} \approx 0,246596964\quad\text{(valor conhecido/uso de aproximação exponencial)}.çã
Então\n
P(X \ge 2) \approx 1 - 0,246596964\,(1+1,4) = 1 - 0,246596964 \times 2,4.
Calculando: 0,246596964 \times 2,4 \approx 0,591832714. Portanto\n
P(X \ge 2) \approx 0,408167286 \approx 0,40817.
Essa é uma aproximação muito boa e é prática para fazer “na prova” sem cálculos de combinações enormes.

Passo 5

Cálculo mais fiel à binomial (confirmação e pequena correção) — como calcular (1-p)^n manualmente. \n
Queremos (1-p)^{n} = (1-0,0014)^{1000} = 0,9986^{1000}. Uma maneira prática sem calculadora é usar o logaritmo e a expansão de Taylor:\n
\ln(1-x) \approx -x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \cdots.
Com x = 0,0014 os termos rapidamente ficam muito pequenos. Calculando os dois primeiros termos:\n
-x = -0,0014,\qquad -\frac{x^{2}}{2} = -\frac{(0,0014)^{2}}{2} = -\frac{0,00000196}{2} = -0,00000098.
Somando dá \ln(0,9986) \approx -0,00140098098. Multiplicando por 1000:\n
1000\ln(0,9986) \approx -1,40098098.
Então\n
P(X=0) = (1-p)^{n} \approx e^{-1,40098098} \approx 0,246337078.
Agora P(X=1) = n p (1-p)^{n-1} = 1{,}4\,(1-p)^{999}. Note que (1-p)^{999} = \dfrac{(1-p)^{1000}}{1-p}, então\n
P(X=1) \approx 1{,}4 \times \frac{0,246337078}{0{,}9986} \approx 0{,}345355563.
Somando P(X=0)+P(X=1) \approx 0{,}246337078 + 0{,}345355563 = 0{,}591692641. Logo\n
P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0)+P(X=1)) \approx 1 - 0{,}591692641 = 0{,}408307359.
Compare: a aproximação de Poisson deu aproximadamente 0{,}40817 e o cálculo mais fiel dá 0{,}40831. A diferença é ínfima — a resposta redonda com quatro casas decimais é \,0{,}4083\,.

Passo 6

Interpretação final (para você se animar): \n
A chance de você ver pelo menos dois full houses em 1000 rodadas, quando a chance em cada rodada é 0{,}0014, é cerca de 40{,}8\%. Isso significa que em média, em 1000 rodadas você espera 1{,}4 full houses, então a probabilidade de conseguir dois ou mais é razoável (quase metade das vezes). Dá para justificar essa resposta tanto pela binomial direta quanto pela aproximação de Poisson — ambas batem muito bem aqui.\n

Resposta

0,4083 (aproximadamente 40,83\%)

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