A probabilidade de receber um full house em um jogo de texas hold’em é aproximadamente 0.0014 . Qual a probabilidade de você receber, em 1000 rodadas, pelo menos dois full houses?
Passo 1
O enunciado dá a probabilidade de receber um full house em uma rodada como
e pergunta: qual a probabilidade de, em
rodadas, você receber pelo menos dois full houses? \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- Probabilidade de sucesso em cada rodada:
.\n - Número de rodadas independentes:
.\n - O que se pede:
probabilidade de ocorrer pelo menos dois sucessos em rodadas , isto é , onde conta quantos full houses ocorrem nas rodadas.\n
Passo 2
Modelagem e fórmula exata (binomial). \n
Quando temos tentativas independentes com probabilidade de sucesso
em cada tentativa, a variável aleatória que conta o número de sucessos
segue a distribuição binomial. A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos é\n
Quando temos
onde:\n
-
é o número de maneiras de escolher quais tentativas serão sucessos (combinações),\n -
é a probabilidade das escolhidas serem sucessos,\n -
é a probabilidade das restantes serem fracassos.\n
Explicandode forma simples: , mas para e isso fica muito simples (ver próximo passo).
Passo 3
Reduzir o problema: probabilidade de pelo menos dois sucessos. \n
A forma prática é calcular o complementar (mais simples aqui):\n
A forma prática é calcular o complementar (mais simples aqui):\n
Agora escrevemos
e
usando a fórmula binomial:\n
Essas duas expressões são fáceis de manipular mesmo sem conhecer combinatória complicada: para
a combinação vale
e para
vale
.
Passo 4
Aproximação de Poisson (método rápido e didático). \n
Quando é grande e
é pequeno, com
moderado, a binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Aqui temos:\n
Quando
Para
vale\n
Logo, aproximando
por
,\n
Substituindo
:\n
Então\n
Calculando:
. Portanto\n
Essa é uma aproximação muito boa e é prática para fazer “na prova” sem cálculos de combinações enormes.
Passo 5
Cálculo mais fiel à binomial (confirmação e pequena correção) — como calcular
manualmente. \n
Queremos . Uma maneira prática sem calculadora é usar o logaritmo e a expansão de Taylor:\n
Queremos
Com
os termos rapidamente ficam muito pequenos. Calculando os dois primeiros termos:\n
Somando dá
. Multiplicando por
:\n
Então\n
Agora
. Note que
, então\n
Somando
. Logo\n
Compare: a aproximação de Poisson deu aproximadamente
e o cálculo mais fiel dá
. A diferença é ínfima — a resposta redonda com quatro casas decimais é
.
Passo 6
Interpretação final (para você se animar): \n
A chance de você ver pelo menos dois full houses em 1000 rodadas, quando a chance em cada rodada é , é cerca de
. Isso significa que em média, em 1000 rodadas você espera
full houses, então a probabilidade de conseguir dois ou mais é razoável (quase metade das vezes). Dá para justificar essa resposta tanto pela binomial direta quanto pela aproximação de Poisson — ambas batem muito bem aqui.\n
A chance de você ver pelo menos dois full houses em 1000 rodadas, quando a chance em cada rodada é