Considere novamente o campo vetorial
\boldsymbol{t}=-y \hat{\boldsymbol{x}}+x \hat{\boldsymbol{y}}.
Verifique o teorema de Stokes usando um quadrado de lados 1. (Dicas: (i) separe a integral de caminho em quatro lados: topo, base, esquerda e direita; (ii) coloque um dos vértices do quadrado no ponto ( 0,0 ).)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \boldsymbol{t}=-y\,\hat{\boldsymbol{x}}+x\,\hat{\boldsymbol{y}} e pede para verificar o teorema de Stokes usando um quadrado de lado 1 com um vértice em (0,0).
As tarefas concretas que vamos fazer:
  • Calcular a integral de superfície \displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{t})\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\,dS sobre o quadrado no plano xy.
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r} ao longo da fronteira C do quadrado (contorno fechado) com orientação compatível com a normal escolhida.
  • Mostrar que os dois resultados coincidem (isso é verificar o teorema de Stokes).
Dados úteis que estamos usando: o quadrado tem vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1). Vamos orientar a normal da superfície para cima (isto é, \hat{\boldsymbol{n}}=\hat{\boldsymbol{k}}); então a orientação positiva do contorno C será contra‑horária (sentido anti‑horário) visto de cima.

Passo 2

Lembrando o enunciado do teorema de Stokes (forma que usaremos):
\oint_{C}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=\iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{t})\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\,dS.
Aqui \boldsymbol{t} é o campo dado, C é a curva fechada bordeando a superfície S, d\boldsymbol{r} é o vetor tangente ao caminho, \nabla\times\boldsymbol{t} é o rotacional de \boldsymbol{t} e \hat{\boldsymbol{n}} é o versor normal escolhido para S. Vamos calcular primeiro o rotacional e a integral de superfície (lado direito da igualdade), depois a integral de linha (lado esquerdo).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\boldsymbol{t}. Escrevendo componentes:
\boldsymbol{t} = (t_x,t_y,t_z)=(-y,\;x,\;0).
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\boldsymbol{t}=\Big(\frac{\partial t_z}{\partial y}-\frac{\partial t_y}{\partial z},\; \frac{\partial t_x}{\partial z}-\frac{\partial t_z}{\partial x},\; \frac{\partial t_y}{\partial x}-\frac{\partial t_x}{\partial y}\Big).
Como t_z=0 e as componentes não dependem de z, as duas primeiras componentes são zero. A componente z é
\frac{\partial t_y}{\partial x}-\frac{\partial t_x}{\partial y} =\frac{\partial (x)}{\partial x}-\frac{\partial(-y)}{\partial y}=1-(-1)=2.
Portanto
\nabla\times\boldsymbol{t}=2\,\hat{\boldsymbol{k}}.
Explicando em palavras: o rotacional é constante e aponta para cima, com magnitude 2.

Passo 4

Calcular a integral de superfície. Como S é o quadrado no plano xy com 0\le x\le1 e 0\le y\le1, a normal escolhida é \hat{\boldsymbol{n}}=\hat{\boldsymbol{k}} e dS=dA=dx\,dy. Então
(\nabla\times\boldsymbol{t})\cdot\hat{\boldsymbol{n}} = (2\hat{\boldsymbol{k}})\cdot\hat{\boldsymbol{k}}=2.
A integral dupla fica
\iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{t})\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\,dS =\iint_{[0,1]\times[0,1]} 2\,dx\,dy =2\cdot\text{(área do quadrado)}=2\cdot 1=2.á
Portanto o lado da superfície dá 2. Ótimo — agora vamos calcular a integral de linha ao longo do contorno e verificar que também dá 2.

Passo 5

Parametrizar o contorno C em quatro lados, seguindo a orientação contra‑horária:
  • Base C_1: de (0,0) a (1,0). Parâmetro x=t, y=0, com t\in[0,1].
  • Lado direito C_2: de (1,0) a (1,1). Parâmetro x=1, y=t, com t\in[0,1].
  • Topo C_3: de (1,1) a (0,1). Parâmetro x=t, y=1, com t\in[1,0] (ou usar t\in[0,1] e x=1-t; ambos equivalem).
  • Lado esquerdo C_4: de (0,1) a (0,0). Parâmetro x=0, y=t, com t\in[1,0].
Para cada lado calculamos \displaystyle \int \boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}. Lembrete prático: d\boldsymbol{r} = dx\,\hat{\boldsymbol{x}}+dy\,\hat{\boldsymbol{y}}.

Passo 6

Integral no lado C_1 (base): y=0,\;x=t,\;t\in[0,1].
\boldsymbol{t}(-y,x) = ( -0,\; x ) = (0,\;t).
d\boldsymbol{r} = dx\,\hat{\boldsymbol{x}} = dt\,\hat{\boldsymbol{x}}.
Produto escalar:
\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r} = (0,\;t)\cdot(dt,0)=0.
Logo
\int_{C_1}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=0.

Passo 7

Integral no lado C_2 (direito): x=1,\;y=t,\;t\in[0,1].
\boldsymbol{t}=(-y,\;x)=(-t,\;1).
d\boldsymbol{r}=dy\,\hat{\boldsymbol{y}}=dt\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Produto escalar:
\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=(-t,\;1)\cdot(0,dt)=1\cdot dt=dt.
Integrando:
\int_{C_2}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_{0}^{1}1\,dt=1.

Passo 8

Integral no lado C_3 (topo): y=1,\;x vai de 1 para 0. Parametrização conveniente: x=t,\;y=1,\;t\in[1,0] (ou x=1-s,\;s\in[0,1]). Usando t\in[1,0]:
\boldsymbol{t}=(-y,\;x)=(-1,\;t).
d\boldsymbol{r}=dx\,\hat{\boldsymbol{x}}=dt\,\hat{\boldsymbol{x}}.
Produto escalar:
\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=(-1,\;t)\cdot(dt,0)=-1\cdot dt.
Integramos de t=1 até t=0:
\int_{C_3}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=\int_{1}^{0}(-1)\,dt = (-1)(0-1)=1.
(Se preferir, parametrizando com s\in[0,1], x=1-s, dá o mesmo resultado.)

Passo 9

Integral no lado C_4 (esquerdo): x=0,\;y vai de 1 para 0. Parametrização y=t,\;t\in[1,0].
\boldsymbol{t}=(-y,\;x)=(-t,\;0).
d\boldsymbol{r}=dy\,\hat{\boldsymbol{y}}=dt\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Produto escalar:
\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=(-t,0)\cdot(0,dt)=0.
Logo
\int_{C_4}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=0.

Passo 10

Somando as quatro contribuições:
\oint_{C}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r} =\int_{C_1}+\int_{C_2}+\int_{C_3}+\int_{C_4} =0+1+1+0=2.
Compare com a integral de superfície calculada no Passo 4, que também foi 2. Portanto as duas integrais coincidem, como prevê o teorema de Stokes.

Resposta

\displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{t})\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\,dS=2
\displaystyle \oint_{C}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{r}=2

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