Considere novamente o campo vetorial
.
Verifique o teorema de Stokes usando um quadrado de lados 1. (Dicas: (i) separe a integral de caminho em quatro lados: topo, base, esquerda e direita; (ii) coloque um dos vértices do quadrado no ponto ( 0,0 ).)
Verifique o teorema de Stokes usando um quadrado de lados 1. (Dicas: (i) separe a integral de caminho em quatro lados: topo, base, esquerda e direita; (ii) coloque um dos vértices do quadrado no ponto ( 0,0 ).)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar o teorema de Stokes usando um quadrado de lado
com um vértice em
.
As tarefas concretas que vamos fazer:
As tarefas concretas que vamos fazer:
- Calcular a integral de superfície
sobre o quadrado no plano . - Calcular a integral de linha
ao longo da fronteira do quadrado (contorno fechado) com orientação compatível com a normal escolhida. - Mostrar que os dois resultados coincidem (isso é verificar o teorema de Stokes).
Dados úteis que estamos usando: o quadrado tem vértices
. Vamos orientar a normal da superfície para cima (isto é,
); então a orientação positiva do contorno
será contra‑horária (sentido anti‑horário) visto de cima.
Passo 2
Lembrando o enunciado do teorema de Stokes (forma que usaremos):
Aqui
é o campo dado,
é a curva fechada bordeando a superfície
,
é o vetor tangente ao caminho,
é o rotacional de
e
é o versor normal escolhido para
. Vamos calcular primeiro o rotacional e a integral de superfície (lado direito da igualdade), depois a integral de linha (lado esquerdo).
Passo 3
Calcular o rotacional
. Escrevendo componentes:
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é
Como
e as componentes não dependem de
, as duas primeiras componentes são zero. A componente
é
Portanto
Explicando em palavras: o rotacional é constante e aponta para cima, com magnitude
.
Passo 4
Calcular a integral de superfície. Como
é o quadrado no plano
com
e
, a normal escolhida é
e
. Então
A integral dupla fica
Portanto o lado da superfície dá
. Ótimo — agora vamos calcular a integral de linha ao longo do contorno e verificar que também dá
.
Passo 5
Parametrizar o contorno
em quatro lados, seguindo a orientação contra‑horária:
- Base
: de a . Parâmetro , , com . - Lado direito
: de a . Parâmetro , , com . - Topo
: de a . Parâmetro , , com (ou usar e ; ambos equivalem). - Lado esquerdo
: de a . Parâmetro , , com .
Para cada lado calculamos
. Lembrete prático:
.
Passo 6
Integral no lado
(base):
.
Produto escalar:
Logo
Passo 7
Integral no lado
(direito):
.
Produto escalar:
Integrando:
Passo 8
Integral no lado
(topo):
vai de
para
. Parametrização conveniente:
(ou
). Usando
:
Produto escalar:
Integramos de
até
:
(Se preferir, parametrizando com
,
, dá o mesmo resultado.)
Passo 9
Integral no lado
(esquerdo):
vai de
para
. Parametrização
.
Produto escalar:
Logo
Passo 10
Somando as quatro contribuições:
Compare com a integral de superfície calculada no Passo 4, que também foi
. Portanto as duas integrais coincidem, como prevê o teorema de Stokes.