Considere novamente o campo vetorial
.
Verifique o teorema de Gauss usando um cubo de arestas 1. (Dicas: (i) separe a integral superficial em 6 faces: topo, base, frente, fundo, esquerda, direita; (ii) coloque um dos vértices do cubo no ponto (
).
Verifique o teorema de Gauss usando um cubo de arestas 1. (Dicas: (i) separe a integral superficial em 6 faces: topo, base, frente, fundo, esquerda, direita; (ii) coloque um dos vértices do cubo no ponto (
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar o teorema de Gauss (teorema da divergência) usando um cubo de aresta
. Foi sugerido colocar um vértice do cubo em
, então assumimos que o volume
é o cubo
O que precisamos comparar:
- o fluxo total através da superfície fechada
,
calculado como soma das contribuições das seis faces:
;
- com a integral do divergente no volume,
Vamos calcular cada um passo a passo.
Passo 2
Calcular o divergente
. Lembre que, para um campo
, tem-se
Aqui
. Então
Interpretação rápida e amigável: o divergente sendo zero significa que, localmente, não há “fonte” nem “sumidouro” do campo — o que sugere que o fluxo líquido através de qualquer superfície fechada pode ser zero. Mas precisamos verificar isso fazendo o cálculo do fluxo em cada face do cubo.
Passo 3
Calcular a integral de volume do divergente (lado direito do teorema de Gauss). Como
em todo o volume,
Portanto a integral de volume é
. Agora vamos calcular explicitamente o fluxo pela superfície fechada para confirmar (lado esquerdo do teorema).
Passo 4
Calcular o fluxo através de cada face da superfície
. Para uma face plana com normal unitário
(saindo do volume), o fluxo é
. As seis faces:
- Face
. Outward normal . Parâmetros: . Em pontos dessa face , então
O produto escalar
Fluxo nessa face:
- Face
. Outward normal . Parâmetros: . Em ,
Produto escalar com
:
Fluxo:
Soma das faces em
:
.
- Face
. Outward normal . Parâmetros: . Em ,
Produto escalar com
:
Fluxo:
- Face
. Outward normal . Parâmetros: . Em ,
Produto escalar com
:
Fluxo:
Soma das faces em
:
.
- Face
. Outward normal . O campo não tem componente em (ou seja ), então
Fluxo nessa face é
. Mesma coisa para a
- Face
. Outward normal . Novamente e o fluxo é .
Somando todas as seis contribuições:
. Assim o fluxo total pela superfície fechada
é
.
Passo 5
Conclusão e verificação: o lado esquerdo (fluxo pela superfície) é
e o lado direito (integral do divergente no volume) é
. Portanto o teorema de Gauss está verificado neste exemplo concreto do cubo de aresta
para o campo
.