Considere novamente o campo vetorial
\boldsymbol{t}=-y \hat{\boldsymbol{x}}+x \hat{\boldsymbol{y}}.
Verifique o teorema de Gauss usando um cubo de arestas 1. (Dicas: (i) separe a integral superficial em 6 faces: topo, base, frente, fundo, esquerda, direita; (ii) coloque um dos vértices do cubo no ponto ( 0,0,0 ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \boldsymbol{t} = -y\,\hat{\boldsymbol{x}} + x\,\hat{\boldsymbol{y}} e pede para verificar o teorema de Gauss (teorema da divergência) usando um cubo de aresta 1. Foi sugerido colocar um vértice do cubo em (0,0,0), então assumimos que o volume V é o cubo
V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1,\;0\le z\le 1\}.
O que precisamos comparar:
  • o fluxo total através da superfície fechada \partial V,
\iint_{\partial V}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{S},
calculado como soma das contribuições das seis faces: x=0,\;x=1,\;y=0,\;y=1,\;z=0,\;z=1;
  • com a integral do divergente no volume,
\iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{t})\,dV.
Vamos calcular cada um passo a passo.

Passo 2

Calcular o divergente \nabla\cdot\boldsymbol{t}. Lembre que, para um campo \boldsymbol{t}=(t_x,t_y,t_z), tem-se
\nabla\cdot\boldsymbol{t}=\frac{\partial t_x}{\partial x}+\frac{\partial t_y}{\partial y}+\frac{\partial t_z}{\partial z}.
Aqui t_x=-y,\;t_y=x,\;t_z=0. Então
\nabla\cdot\boldsymbol{t}=\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0+0+0=0.
Interpretação rápida e amigável: o divergente sendo zero significa que, localmente, não há “fonte” nem “sumidouro” do campo — o que sugere que o fluxo líquido através de qualquer superfície fechada pode ser zero. Mas precisamos verificar isso fazendo o cálculo do fluxo em cada face do cubo.

Passo 3

Calcular a integral de volume do divergente (lado direito do teorema de Gauss). Como \nabla\cdot\boldsymbol{t}=0 em todo o volume,
\iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{t})\,dV=\iiint_{V}0\,dV=0.
Portanto a integral de volume é 0. Agora vamos calcular explicitamente o fluxo pela superfície fechada para confirmar (lado esquerdo do teorema).

Passo 4

Calcular o fluxo através de cada face da superfície \partial V. Para uma face plana com normal unitário \hat{\boldsymbol{n}} (saindo do volume), o fluxo é \iint \boldsymbol{t}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\,dS. As seis faces:
  1. Face x=0. Outward normal \hat{\boldsymbol{n}}=-\hat{\boldsymbol{x}}. Parâmetros: y\in[0,1],\;z\in[0,1]. Em pontos dessa face x=0, então
\boldsymbol{t}=-y\,\hat{\boldsymbol{x}}+0\cdot\hat{\boldsymbol{y}}=-y\,\hat{\boldsymbol{x}}.
O produto escalar
\boldsymbol{t}\cdot(-\hat{\boldsymbol{x}})=(-y)(-1)=y.
Fluxo nessa face:
\iint_{x=0}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{y=0}^1\int_{z=0}^1 y\,dz\,dy =\int_{0}^{1} y\left(\int_{0}^{1}dz\right)dy=\int_{0}^{1} y\cdot 1\,dy=\frac{1}{2}.
  1. Face x=1. Outward normal \hat{\boldsymbol{n}}=+\hat{\boldsymbol{x}}. Parâmetros: y\in[0,1],\;z\in[0,1]. Em x=1,
\boldsymbol{t}=-y\,\hat{\boldsymbol{x}}+1\cdot\hat{\boldsymbol{y}}.
Produto escalar com \hat{\boldsymbol{x}}:
\boldsymbol{t}\cdot\hat{\boldsymbol{x}}=-y.
Fluxo:
\iint_{x=1}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{y=0}^1\int_{z=0}^1 (-y)\,dz\,dy =-\int_{0}^{1} y\,dy=-\frac{1}{2}.
Soma das faces em x: \tfrac{1}{2}+(-\tfrac{1}{2})=0.
  1. Face y=0. Outward normal \hat{\boldsymbol{n}}=-\hat{\boldsymbol{y}}. Parâmetros: x\in[0,1],\;z\in[0,1]. Em y=0,
\boldsymbol{t}=0\cdot\hat{\boldsymbol{x}}+x\,\hat{\boldsymbol{y}}=x\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Produto escalar com -\hat{\boldsymbol{y}}:
\boldsymbol{t}\cdot(-\hat{\boldsymbol{y}})=x(-1)=-x.
Fluxo:
\iint_{y=0}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{x=0}^1\int_{z=0}^1 (-x)\,dz\,dx =-\int_{0}^{1} x\,dx=-\frac{1}{2}.
  1. Face y=1. Outward normal \hat{\boldsymbol{n}}=+\hat{\boldsymbol{y}}. Parâmetros: x\in[0,1],\;z\in[0,1]. Em y=1,
\boldsymbol{t}=-1\cdot\hat{\boldsymbol{x}}+x\,\hat{\boldsymbol{y}}.
Produto escalar com \hat{\boldsymbol{y}}:
\boldsymbol{t}\cdot\hat{\boldsymbol{y}}=x.
Fluxo:
\iint_{y=1}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{x=0}^1\int_{z=0}^1 x\,dz\,dx =\int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}.
Soma das faces em y: -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  1. Face z=0. Outward normal \hat{\boldsymbol{n}}=-\hat{\boldsymbol{z}}. O campo \boldsymbol{t} não tem componente em \hat{\boldsymbol{z}} (ou seja t_z=0), então
\boldsymbol{t}\cdot(-\hat{\boldsymbol{z}})=0.
Fluxo nessa face é 0. Mesma coisa para a
  1. Face z=1. Outward normal \hat{\boldsymbol{n}}=+\hat{\boldsymbol{z}}. Novamente \boldsymbol{t}\cdot\hat{\boldsymbol{z}}=0 e o fluxo é 0.
Somando todas as seis contribuições: 0+0+0=0. Assim o fluxo total pela superfície fechada \partial V é 0.

Passo 5

Conclusão e verificação: o lado esquerdo (fluxo pela superfície) é 0 e o lado direito (integral do divergente no volume) é 0. Portanto o teorema de Gauss está verificado neste exemplo concreto do cubo de aresta 1 para o campo \boldsymbol{t}.

Resposta

\iint_{\partial V}\boldsymbol{t}\cdot d\boldsymbol{S}=0
\iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{t})\,dV=0

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