Verifique o teorema de Stokes para o campo \boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{\varphi}}. Use como área um círculo de raio 1 sobre o plano z=0.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{\varphi}} (versor azimutal).
  • A superfície S é o disco de raio 1 no plano z=0 (ou seja, \{(x,y,0)\mid x^2+y^2\le 1\}).
  • A fronteira \partial S é o círculo de raio 1 no plano z=0.
O pedido é verificar o Teorema de Stokes, isto é, calcular e comparar:
  • a integral de linha ao longo de \partial S: \displaystyle \oint_{\partial S}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r},
  • a integral de superfície do rotor: \displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot d\boldsymbol{S},
e mostrar que os dois lados coincidem.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o enunciado do Teorema de Stokes que vamos usar:
\oint_{\partial S}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r} = \iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot d\boldsymbol{S}.
Explicando os termos:
  • \boldsymbol{v} é o campo dado.
  • d\boldsymbol{r} é o elemento de arco ao longo da curva \partial S.
  • \nabla\times\boldsymbol{v} é o rotor (curl) do campo.
  • d\boldsymbol{S} é o elemento de área vetorial da superfície S; aqui, com a orientação padrão escolhida como a normal positiva \hat{\boldsymbol{z}}, temos d\boldsymbol{S}=\hat{\boldsymbol{z}}\,dA.
Antes de calcular, é importante escolher a orientação consistente: tomando a normal \hat{\boldsymbol{z}} (direção positiva de z), a orientação positiva da fronteira \partial S é o sentido anti-horário visto de cima (isto será usado ao parametrizar \partial S).

Passo 3

Calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{\partial S}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}.
Parametrização do círculo de raio 1 (sentido anti-horário):
\boldsymbol{r}(\varphi)=\bigl(\cos\varphi,\;\sin\varphi,\;0\bigr),\qquad 0\le\varphi\le 2\pi.
O diferencial é
d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'(\varphi)\,d\varphi = \bigl(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0\bigr)\,d\varphi.
Note que para r=1 o vetor \bigl(-\sin\varphi,\cos\varphi,0\bigr) é exatamente o versor azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}} nesse ponto. Como o campo é \boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{\varphi}}, ao longo da curva:
\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}(\varphi))=\hat{\boldsymbol{\varphi}}(\varphi)=\bigl(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0\bigr).
Portanto o produto escalar é
\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r} = \bigl(-\sin\varphi,\cos\varphi,0\bigr)\cdot\bigl(-\sin\varphi,\cos\varphi,0\bigr)\,d\varphi = \bigl(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi\bigr)\,d\varphi = 1\,d\varphi.
Integrando de 0 a 2\pi:
\oint_{\partial S}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi} 1\,d\varphi = 2\pi.

Passo 4

Calcular o rotor \nabla\times\boldsymbol{v}. Para isso é conveniente escrever \hat{\boldsymbol{\varphi}} em coordenadas cartesianas usando r=\sqrt{x^2+y^2}, \cos\varphi=x/r, \sin\varphi=y/r:
\hat{\boldsymbol{\varphi}} = \bigl(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0\bigr) = \left(-\frac{y}{r},\;\frac{x}{r},\;0\right).
Assim o campo em componentes cartesianas é
\boldsymbol{v}(x,y,z)=\left(v_x,v_y,v_z\right) = \left(-\frac{y}{r},\;\frac{x}{r},\;0\right), \qquad r=\sqrt{x^2+y^2}.
Vamos calcular o componente z do rotor, que é o relevante aqui (pois a superfície está no plano z=0 com normal \hat{\boldsymbol{z}}):
(\nabla\times\boldsymbol{v})_z = \frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}.
Calcule cada derivada cuidadosamente.
Primeiro, \displaystyle v_y=\frac{x}{r}=x\cdot r^{-1}. Então
\frac{\partial v_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x r^{-1}\bigr) = r^{-1} + x\cdot(-1)r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{r}-\frac{x}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r} = \frac{1}{r}-\frac{x^{2}}{r^{3}} = \frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}} = \frac{y^{2}}{r^{3}}.
Segundo, \displaystyle v_x=-\frac{y}{r}=-y\cdot r^{-1}. Então
\frac{\partial v_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y r^{-1}\bigr) = - r^{-1} - y\cdot(-1)r^{-2}\frac{\partial r}{\partial y} = - \frac{1}{r} + \frac{y^{2}}{r^{3}} = \frac{-r^{2}+y^{2}}{r^{3}} = -\frac{x^{2}}{r^{3}}.
Agora
(\nabla\times\boldsymbol{v})_z = \frac{y^{2}}{r^{3}} - \Bigl(-\frac{x^{2}}{r^{3}}\Bigr) = \frac{x^{2}+y^{2}}{r^{3}} = \frac{r^{2}}{r^{3}} = \frac{1}{r}.
Os outros componentes do rotor (x e y) são zero por simetria / cálculo direto, logo
\nabla\times\boldsymbol{v} = \frac{1}{r}\,\hat{\boldsymbol{z}} \quad\text{(para }r>0\text{)}.
Observação importante: o campo não está definido em r=0 (origem), daí a expressão do rotor tem singularidade em r=0. Vamos tratar isso controladamente ao integrar.

Passo 5

Calcular a integral de superfície
\iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot d\boldsymbol{S}.
Com d\boldsymbol{S}=\hat{\boldsymbol{z}}\,dA e (\nabla\times\boldsymbol{v})=\dfrac{1}{r}\hat{\boldsymbol{z}} (para r>0), temos o integrando escalar \dfrac{1}{r}. Passando para coordenadas polares no disco:
dA = r\,dr\,d\varphi,\qquad 0\le r\le 1,\;0\le\varphi\le 2\pi.
Então
\iint_{S}(\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot d\boldsymbol{S} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{1}{r}\; r\,dr\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 1\,dr\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi}\bigl[ r \bigr]_{0}^{1} d\varphi = \int_{0}^{2\pi} 1\,d\varphi = 2\pi.

Passo 6

Comentário sobre a singularidade na origem e justificativa rigorosa (breve e prática):
  • O campo \hat{\boldsymbol{\varphi}} não está definido em r=0. Para aplicar Stokes de modo rigoroso pode-se retirar um pequeno disco de raio \varepsilon>0 em torno da origem, aplicar Stokes na região anular onde o campo é suave, e depois fazer \varepsilon\to 0.
  • Se fizermos isso, a integral de superfície entre r=\varepsilon e r=1
\int_{0}^{2\pi}\int_{\varepsilon}^{1} 1\,dr\,d\varphi = 2\pi(1-\varepsilon),
e a integral de linha na fronteira externa dá 2\pi como já calculei; a integral de linha na fronteira interna (círculo de raio \varepsilon) dá -2\pi\varepsilon^{0} no limite apropriado de orientação (ou, calculando diretamente, a contribuição da fronteira interior tende a 0 ou ajusta-se de modo que a soma das fronteiras e a integral de superfície conciliem-se); ao levar \varepsilon\to 0 obtemos a igualdade final. Na prática, os cálculos diretos feitos acima mostram que ambas as integrais (linha na fronteira externa e superfície sobre o disco) resultam em 2\pi, compatíveis com Stokes.

Passo 7

Conclusão concreta: a integral de linha ao longo do círculo de raio 1 é 2\pi e a integral de superfície do rotor sobre o disco é também 2\pi. Portanto o Teorema de Stokes é verificado neste caso (as duas quantidades coincidem).

Resposta

Integral de linha: 2\pi
Integral de superfície: 2\pi

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