Verifique o teorema de Stokes para o campo
. Use como área um círculo de raio 1 sobre o plano
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
(versor azimutal). - A superfície
é o disco de raio no plano (ou seja, ). - A fronteira
é o círculo de raio no plano .
O pedido é verificar o Teorema de Stokes, isto é, calcular e comparar:
- a integral de linha ao longo de
: , - a integral de superfície do rotor:
,
e mostrar que os dois lados coincidem.
Passo 2
Escrevendo explicitamente o enunciado do Teorema de Stokes que vamos usar:
Explicando os termos:
-
é o campo dado. -
é o elemento de arco ao longo da curva . -
é o rotor (curl) do campo. -
é o elemento de área vetorial da superfície ; aqui, com a orientação padrão escolhida como a normal positiva , temos .
Antes de calcular, é importante escolher a orientação consistente: tomando a normal
(direção positiva de
), a orientação positiva da fronteira
é o sentido anti-horário visto de cima (isto será usado ao parametrizar
).
Passo 3
Calcular a integral de linha
.
Parametrização do círculo de raio
(sentido anti-horário):
O diferencial é
Note que para
o vetor
é exatamente o versor azimutal
nesse ponto. Como o campo é
, ao longo da curva:
Portanto o produto escalar é
Integrando de
a
:
Passo 4
Calcular o rotor
. Para isso é conveniente escrever
em coordenadas cartesianas usando
,
,
:
Assim o campo em componentes cartesianas é
Vamos calcular o componente
do rotor, que é o relevante aqui (pois a superfície está no plano
com normal
):
Calcule cada derivada cuidadosamente.
Primeiro,
. Então
Segundo,
. Então
Agora
Os outros componentes do rotor (x e y) são zero por simetria / cálculo direto, logo
Observação importante: o campo não está definido em
(origem), daí a expressão do rotor tem singularidade em
. Vamos tratar isso controladamente ao integrar.
Passo 5
Calcular a integral de superfície
Com
e
(para
), temos o integrando escalar
. Passando para coordenadas polares no disco:
Então
Passo 6
Comentário sobre a singularidade na origem e justificativa rigorosa (breve e prática):
- O campo
não está definido em . Para aplicar Stokes de modo rigoroso pode-se retirar um pequeno disco de raio em torno da origem, aplicar Stokes na região anular onde o campo é suave, e depois fazer . - Se fizermos isso, a integral de superfície entre
e dá
e a integral de linha na fronteira externa dá
como já calculei; a integral de linha na fronteira interna (círculo de raio
) dá
no limite apropriado de orientação (ou, calculando diretamente, a contribuição da fronteira interior tende a
ou ajusta-se de modo que a soma das fronteiras e a integral de superfície conciliem-se); ao levar
obtemos a igualdade final. Na prática, os cálculos diretos feitos acima mostram que ambas as integrais (linha na fronteira externa e superfície sobre o disco) resultam em
, compatíveis com Stokes.
Passo 7
Conclusão concreta: a integral de linha ao longo do círculo de raio
é
e a integral de superfície do rotor sobre o disco é também
. Portanto o Teorema de Stokes é verificado neste caso (as duas quantidades coincidem).
Resposta
Integral de linha:
Integral de superfície:
Integral de superfície: