Considere novamente os referenciais de João e Maria, que se deslocam com uma velocidade relativa V entre eles, sendo que João se desloca da esquerda para a direita em relação a Maria. Suponha que João tenha uma régua de comprimento L e também possua um relógio. Com esses dois equipamentos, ele mede a velocidade de Maria observando o instante em que Maria passa por cada uma das extremidades da régua. Maria utiliza a mesma régua de João para medir a velocidade de João. Sabendo que a velocidade relativa entre eles é única, ou seja, a velocidade de Maria medida por João e a velocidade de João
medida por Maria são as mesmas, calcule o resultado da medida de tempo feita no referencial da Maria entre os dois eventos usados para medir a velocidade e discuta a consistência do resultado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade relativa entre João e Maria: \,V (constante).
    • João possui uma régua de comprimento próprio \,L e um relógio.
    • João mede a velocidade de Maria registrando os instantes em que Maria passa por cada extremidade da régua.
    • Maria usa a mesma régua para medir a velocidade de João (ou seja, ela também observa os instantes em que João passa por cada extremidade da régua).
    • Sabe-se que a velocidade relativa medida por cada um é a mesma (ou seja, ambos encontram a mesma magnitude \,V).
  • O enunciado pede:
    • Calcular o intervalo de tempo medido no referencial de Maria entre os dois eventos usados para medir a velocidade (os dois eventos são: “Maria passa pela extremidade esquerda da régua” e “Maria passa pela extremidade direita da régua”).
    • Discutir a consistência do resultado (por que não há contradição com o fato de que a medição da velocidade é única).

Passo 2

Definir os dois eventos e o que João mede (no referencial de João).
  • Eventos (mesmos eventos no espaço-tempo, só mudam coordenadas segundo o referencial):
    • Evento E_1: Maria passa pela extremidade esquerda da régua.
    • Evento E_2: Maria passa pela extremidade direita da régua.
  • No referencial de João:
    • A régua está em repouso com comprimento próprio \,L.
    • Maria move-se com velocidade relativa \,V (da esquerda para a direita em relação a João).
    • João registra os instantes t_1 e t_2 (do seu relógio) em que ocorrem E_1 e E_2.
    • O intervalo de tempo que João mede entre esses eventos é simplesmente o tempo necessário para Maria percorrer o comprimento da régua: \Delta t_J = t_2 - t_1 = \frac{L}{V}.
    • Assim João calcula a velocidade de Maria como \,V = L/\Delta t_J (coerente com a definição).

Passo 3

Introduzir o fator de Lorentz e a contração de comprimentos (conceitos usados na resolução).
  • Definição do fator de Lorentz:
    \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\qquad \beta\equiv\frac{V}{c},
    onde \,c é a velocidade da luz.
  • Contração de comprimentos (explicação breve e intuitiva):
    • Um comprimento próprio \,L medido no repouso do objeto (aqui: a régua em repouso no referencial de João) aparece contraído num referencial em que o objeto se move com velocidade \,V.
    • O comprimento medido nesse referencial em movimento é L_{\rm mov} = \frac{L}{\gamma}.
    • Aqui, no referencial de Maria a régua (que pertence a João) está em movimento com velocidade \,V, então Maria vê a régua com comprimento reduzido \,L/\gamma.

Passo 4

Calcular o intervalo de tempo medido por Maria usando a contração de comprimentos e cinemática simples.
  • No referencial de Maria:
    • Maria está em repouso no seu referencial.
    • A régua de João move-se com velocidade \,V passando por Maria.
    • O comprimento da régua, segundo Maria, é contraído para \,L/\gamma (peguei esse dado da definição de contração de comprimentos).
    • Os dois eventos E_1 e E_2 ocorrem na mesma posição espacial de Maria (são eventos sobre a sua linha de mundo), logo o intervalo de tempo que ela mede entre eles é o tempo que leva para a régua, movendo-se com velocidade \,V, “desfilar” por ela de modo que a extremidade esquerda passe e depois a extrema direita passe por seu ponto fixo.
    • Assim o intervalo de tempo medido por Maria é \Delta t_M \;=\; \frac{\text{comprimento da régua segundo Maria}}{\text{velocidade relativa}} \;=\; \frac{L/\gamma}{V}.é
    • Portanto \boxed{\;\Delta t_M = \frac{L}{\gamma\,V}\;}
    • Em forma alternativa (sem \gamma): \Delta t_M = \frac{L}{V}\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}.

Passo 5

Derivação alternativa (útil para fixar a ideia): usar a invariância do intervalo de espaço-tempo / definição de tempo próprio.
  • Observação importante: os dois eventos E_1 e E_2 ocorrem na linha de mundo de Maria (ela está no mesmo lugar espacial em seu referencial quando cada evento acontece), portanto o tempo que Maria mede entre eles é o seu tempo próprio \Delta\tau.
  • O intervalo espaço-temporal entre os eventos (em qualquer referencial) satisfaz s^{2} = c^{2}(\Delta t)^{2} - (\Delta x)^{2}.
  • No referencial de João:
    • \Delta t_J = L/V e \Delta x_J = L.
    • Logo s^{2} = c^{2}\left(\frac{L}{V}\right)^{2} - L^{2} = L^{2}\left(\frac{c^{2}}{V^{2}}-1\right) = \frac{L^{2}c^{2}}{\gamma^{2}V^{2}}.
  • O tempo próprio de Maria é dado por \Delta\tau = s/c, portanto \Delta\tau = \frac{L}{\gamma V},que coincide com o resultado do Passo 4. Como Maria está em repouso em seu referencial, \Delta t_M=\Delta\tau.

Passo 6

Discutir a consistência do resultado (por que não há contradição com a unicidade da velocidade relativa).
  • Resumo dos resultados:
    • João mede o intervalo de tempo entre os eventos: \displaystyle \Delta t_J=\frac{L}{V}.
    • Maria mede o intervalo de tempo entre os mesmos eventos: \displaystyle \Delta t_M=\frac{L}{\gamma V}=\frac{L}{V}\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}.
    • Logo \Delta t_M = \Delta t_J/\gamma; isto é, Maria registra um tempo menor entre os eventos (é o tempo próprio dela entre esses dois encontros).
  • Por que isso é consistente e não paradoxal:
    • Ambos medem a mesma velocidade relativa \,V porque cada um usa sua própria medição de comprimento e de tempo no seu referencial: João usa o comprimento próprio da régua L e o seu próprio intervalo \Delta t_J; Maria usa o comprimento contraído L/\gamma e o seu próprio intervalo \Delta t_M. O quociente dá sempre \,V.
    • Não há contradição com o princípio da relatividade: tempo e comprimento são quantidades relativas entre referenciais; o produto (comprimento medido naquele referencial dividido pelo tempo medido naquele referencial) resulta na mesma velocidade relativa V.
    • A desigualdade \Delta t_M < \Delta t_J é simplesmente a expressão do fato de que \Delta t_M é o tempo próprio de Maria para esses dois eventos, enquanto \Delta t_J é o tempo coordenado no referencial de João; a transformação entre eles é governada por \gamma (tempo próprio é menor que o tempo coordenado quando visto do referencial onde o evento não é co-local).
    • A segunda derivação (invariância do intervalo) mostra que a relação é uma consequência geométrica do espaço-tempo de Minkowski e, portanto, não há ambiguidade física.

Resposta

\displaystyle \Delta t_M=\frac{L}{\gamma\,V}=\frac{L}{V}\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}

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