Considere novamente os referenciais de João e Maria, que se deslocam com uma velocidade relativa V entre eles, sendo que João se desloca da esquerda para a direita em relação a Maria. Suponha que João tenha uma régua de comprimento L e também possua um relógio. Com esses dois equipamentos, ele mede a velocidade de Maria observando o instante em que Maria passa por cada uma das extremidades da régua. Maria utiliza a mesma régua de João para medir a velocidade de João. Sabendo que a velocidade relativa entre eles é única, ou seja, a velocidade de Maria medida por João e a velocidade de João
medida por Maria são as mesmas, calcule o resultado da medida de tempo feita no referencial da Maria entre os dois eventos usados para medir a velocidade e discuta a consistência do resultado.
medida por Maria são as mesmas, calcule o resultado da medida de tempo feita no referencial da Maria entre os dois eventos usados para medir a velocidade e discuta a consistência do resultado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Velocidade relativa entre João e Maria:
(constante). - João possui uma régua de comprimento próprio
e um relógio. - João mede a velocidade de Maria registrando os instantes em que Maria passa por cada extremidade da régua.
- Maria usa a mesma régua para medir a velocidade de João (ou seja, ela também observa os instantes em que João passa por cada extremidade da régua).
- Sabe-se que a velocidade relativa medida por cada um é a mesma (ou seja, ambos encontram a mesma magnitude
).
- Velocidade relativa entre João e Maria:
-
O enunciado pede:
- Calcular o intervalo de tempo medido no referencial de Maria entre os dois eventos usados para medir a velocidade (os dois eventos são: “Maria passa pela extremidade esquerda da régua” e “Maria passa pela extremidade direita da régua”).
- Discutir a consistência do resultado (por que não há contradição com o fato de que a medição da velocidade é única).
Passo 2
Definir os dois eventos e o que João mede (no referencial de João).
-
Eventos (mesmos eventos no espaço-tempo, só mudam coordenadas segundo o referencial):
- Evento
: Maria passa pela extremidade esquerda da régua. - Evento
: Maria passa pela extremidade direita da régua.
- Evento
-
No referencial de João:
- A régua está em repouso com comprimento próprio
. - Maria move-se com velocidade relativa
(da esquerda para a direita em relação a João). - João registra os instantes
e (do seu relógio) em que ocorrem e . - O intervalo de tempo que João mede entre esses eventos é simplesmente o tempo necessário para Maria percorrer o comprimento da régua:
- Assim João calcula a velocidade de Maria como
(coerente com a definição).
- A régua está em repouso com comprimento próprio
Passo 3
Introduzir o fator de Lorentz e a contração de comprimentos (conceitos usados na resolução).
-
Definição do fator de Lorentz:onde
é a velocidade da luz. -
Contração de comprimentos (explicação breve e intuitiva):
- Um comprimento próprio
medido no repouso do objeto (aqui: a régua em repouso no referencial de João) aparece contraído num referencial em que o objeto se move com velocidade . - O comprimento medido nesse referencial em movimento é
- Aqui, no referencial de Maria a régua (que pertence a João) está em movimento com velocidade
, então Maria vê a régua com comprimento reduzido .
- Um comprimento próprio
Passo 4
Calcular o intervalo de tempo medido por Maria usando a contração de comprimentos e cinemática simples.
- No referencial de Maria:
- Maria está em repouso no seu referencial.
- A régua de João move-se com velocidade
passando por Maria. - O comprimento da régua, segundo Maria, é contraído para
(peguei esse dado da definição de contração de comprimentos). - Os dois eventos
e ocorrem na mesma posição espacial de Maria (são eventos sobre a sua linha de mundo), logo o intervalo de tempo que ela mede entre eles é o tempo que leva para a régua, movendo-se com velocidade , “desfilar” por ela de modo que a extremidade esquerda passe e depois a extrema direita passe por seu ponto fixo. - Assim o intervalo de tempo medido por Maria é
- Portanto
- Em forma alternativa (sem
):
Passo 5
Derivação alternativa (útil para fixar a ideia): usar a invariância do intervalo de espaço-tempo / definição de tempo próprio.
- Observação importante: os dois eventos
e ocorrem na linha de mundo de Maria (ela está no mesmo lugar espacial em seu referencial quando cada evento acontece), portanto o tempo que Maria mede entre eles é o seu tempo próprio . - O intervalo espaço-temporal entre os eventos (em qualquer referencial) satisfaz
- No referencial de João:
-
e . - Logo
-
- O tempo próprio de Maria é dado por
, portanto que coincide com o resultado do Passo 4. Como Maria está em repouso em seu referencial, .
Passo 6
Discutir a consistência do resultado (por que não há contradição com a unicidade da velocidade relativa).
-
Resumo dos resultados:
- João mede o intervalo de tempo entre os eventos:
. - Maria mede o intervalo de tempo entre os mesmos eventos:
. - Logo
; isto é, Maria registra um tempo menor entre os eventos (é o tempo próprio dela entre esses dois encontros).
- João mede o intervalo de tempo entre os eventos:
-
Por que isso é consistente e não paradoxal:
- Ambos medem a mesma velocidade relativa
porque cada um usa sua própria medição de comprimento e de tempo no seu referencial: João usa o comprimento próprio da régua e o seu próprio intervalo ; Maria usa o comprimento contraído e o seu próprio intervalo . O quociente dá sempre . - Não há contradição com o princípio da relatividade: tempo e comprimento são quantidades relativas entre referenciais; o produto (comprimento medido naquele referencial dividido pelo tempo medido naquele referencial) resulta na mesma velocidade relativa
. - A desigualdade
é simplesmente a expressão do fato de que é o tempo próprio de Maria para esses dois eventos, enquanto é o tempo coordenado no referencial de João; a transformação entre eles é governada por (tempo próprio é menor que o tempo coordenado quando visto do referencial onde o evento não é co-local). - A segunda derivação (invariância do intervalo) mostra que a relação é uma consequência geométrica do espaço-tempo de Minkowski e, portanto, não há ambiguidade física.
- Ambos medem a mesma velocidade relativa