Em uma superficie horizontal colocamos uma mola horizontal relaxada (constante elástica
e massa desprezível) que tem uma extremidade fixada na superfície e outra ligada a uma massa
. Um altofalante de massa desprezível que emite ondas sonoras de frequência
é colocado acima da massa
e é fixado a ela. A cotinuação fazemos oscilar o sistema massa-mola com uma frequência angular
e amplitude
. Considere que o movimento da mola é sempre na horizontal e desconsidere qualquer tipo de força de atrito e resistência ao movimento.
a) Se
é o módulo da velocidade de propagação das ondas sonoras no meio e conhecendo que o sistema oscila com uma velocidade de módulo muito menor que
, qual é o valor de
se a diferença entre a máxima e a mínima frequência que um observador parado na superfície horizontal escuta é
? [Sol:
, qual é a maior frequência de batimento que escuta o observador do item anterior? [Sol:
.)
a) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto:
- Temos uma mola horizontal com constante elástica
e massa desprezível, uma extremidade presa e a outra ligada a uma massa de massa . - Um alto‑falante (massa desprezível) está fixado à massa
e emite ondas sonoras de frequência . - O conjunto massa–mola é forçado a oscilar harmonicamente na direção horizontal com frequência angular
e amplitude . O enunciado fornece que . - A velocidade de propagação das ondas sonoras no meio é
. - Foi dito que a velocidade do sistema é muito menor que
(ou seja, ). - Um observador parado na superfície horizontal escuta variação de frequência da fonte móvel; a diferença entre a máxima e a mínima frequência que esse observador escuta é
. - Pergunta (a): determinar
em função dos dados (sabe‑se que ). - Pergunta (b): se colocamos um segundo alto‑falante idêntico, agora fixo na superfície (isto é, estacionário) e emitindo a mesma
, qual é a maior frequência de batimento que o observador do item (a) escuta?
Passo 2
Escolha do método e conceitos que vou usar (explicação didática):
- O que causa variação de frequência quando a fonte se move em relação ao observador é o efeito Doppler para fonte em movimento. Não estamos usando uma mudança na emissão da fonte, mas a diferença se deve ao movimento relativo entre fonte e observador.
- Fórmula exata para fonte movendo-se ao longo da linha que liga fonte e observador e com o observador em repouso:
onde
é a frequência observada,
é a componente da velocidade da fonte ao longo da linha de observação (positiva quando a fonte se aproxima do observador), e o sinal
no denominador corresponde ao caso de aproximação (a frequência aumenta), o sinal
corresponde ao caso de afastamento (a frequência diminui).
- Como o enunciado afirma
, vou usar a aproximação de primeira ordem (expansão em série de Taylor)
válida para
. Assim, para pequenas velocidades:
- A oscilação harmônica da massa tem posição e velocidade conhecidas: se tomamos a posição como
então a velocidade é
O módulo máximo da velocidade é
- Observação sobre geometria: aqui se assume que o observador está localizado de modo que a componente radial (linha de vista) do movimento da fonte seja, para efeitos do problema, igual à velocidade horizontal
(ou seja, a direção do observador é aproximadamente alinhada ao eixo do movimento). O enunciado não dá mais detalhes de geometria, portanto essa é a hipótese padrão para aplicar diretamente a fórmula unidimensional do Doppler.
Passo 3
Cálculo detalhado da variação de frequência (parte a)):
- Usando a aproximação linear do Doppler, a frequência observada quando a fonte tem velocidade instantânea
vale
onde tomamos o sinal + quando
é positivo ao indicar aproximação (a fórmula com sinal funciona trocando o sinal de
conforme o sentido).
- O valor máximo de
ocorre quando . Então
- O valor mínimo de
ocorre quando . Então
- A diferença entre máxima e mínima frequência escutada é
- Isolando
desta expressão:
- Lembrete final: como pedido pelo enunciado,
, então pode-se também escrever
Passo 4
Explicação física curta e cheinha de empatia (para fixar o conceito):
- Intuitivamente: quando o alto‑falante se aproxima, as cristas do som saem “mais juntas” e a frequência ouve-se maior; quando se afasta, as cristas chegam mais espaçadas e a frequência cai. Como a velocidade máxima da fonte é
, a amplitude da variação relativa de frequência é proporcional a . Como o enunciado já deu a diferença total entre máximo e mínimo, basta relacionar essa diferença com — o que acabamos de fazer. - Força de incentivo: é normal travar com Doppler no começo, mas a ideia-chave é linearizar a fórmula quando a velocidade é muito menor que a velocidade do som; com isso tudo fica bem direto.
Passo 5
Batimentos (parte b): dedução detalhada do que o observador ouve com o segundo alto‑falante estacionário
- Conceito de batimentos (didático): quando duas fontes sonoras de frequências próximas
e são superpostas, o resultado é uma onda cuja amplitude varia com frequência igual à diferença absoluta entre as frequências:
Esse
é a frequência do envelope (o “batimento”) que o ouvido percebe.
- No nosso caso, após colocar um segundo alto‑falante idêntico, estacionário, esse alto‑falante emite exatamente
. O alto‑falante preso à massa em movimento produz, no observador, uma frequência instantânea que varia entre e calculadas antes. Portanto o desvio instantâneo em relação a é
- Como
oscila simetricamente em torno de com amplitude (veja que e ), o maior deslocamento absoluto possível entre e é
- O batimento que o observador escuta entre a onda vinda do alto‑falante estacionário (
) e a onda vinda do alto‑falante em movimento (frequência instantânea ) terá frequência instantânea dada por . Portanto a maior frequência de batimento que pode ser escutada, ao longo da oscilação, é aproximadamente