Em uma superficie horizontal colocamos uma mola horizontal relaxada (constante elástica k e massa desprezível) que tem uma extremidade fixada na superfície e outra ligada a uma massa m. Um altofalante de massa desprezível que emite ondas sonoras de frequência \nu é colocado acima da massa m e é fixado a ela. A cotinuação fazemos oscilar o sistema massa-mola com uma frequência angular \omega e amplitude A. Considere que o movimento da mola é sempre na horizontal e desconsidere qualquer tipo de força de atrito e resistência ao movimento.
a) Se v_{0} é o módulo da velocidade de propagação das ondas sonoras no meio e conhecendo que o sistema oscila com uma velocidade de módulo muito menor que v_{0}, qual é o valor de A se a diferença entre a máxima e a mínima frequência que um observador parado na superfície horizontal escuta é \Delta \nu ? [Sol: \left.v_{0} \Delta \nu /(2 \omega \nu), \omega=\sqrt{k / m}\right]. b) Se agora colocamos na superfície horizontal outro altofalante idêntico ao ligado à massa \(m, qual é a maior frequência de batimento que escuta o observador do item anterior? [Sol: \simeq \Delta \nu / 2].)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto:
  • Temos uma mola horizontal com constante elástica \,k\, e massa desprezível, uma extremidade presa e a outra ligada a uma massa de massa \,m\,.
  • Um alto‑falante (massa desprezível) está fixado à massa m e emite ondas sonoras de frequência \nu.
  • O conjunto massa–mola é forçado a oscilar harmonicamente na direção horizontal com frequência angular \omega e amplitude A. O enunciado fornece que \omega=\sqrt{k/m}.
  • A velocidade de propagação das ondas sonoras no meio é v_{0}.
  • Foi dito que a velocidade do sistema é muito menor que v_{0} (ou seja, v_{\text{máx}}\ll v_{0}á).
  • Um observador parado na superfície horizontal escuta variação de frequência da fonte móvel; a diferença entre a máxima e a mínima frequência que esse observador escuta é \Delta \nu.
  • Pergunta (a): determinar A em função dos dados (sabe‑se que \omega=\sqrt{k/m}).
  • Pergunta (b): se colocamos um segundo alto‑falante idêntico, agora fixo na superfície (isto é, estacionário) e emitindo a mesma \nu, qual é a maior frequência de batimento que o observador do item (a) escuta?

Passo 2

Escolha do método e conceitos que vou usar (explicação didática):
  • O que causa variação de frequência quando a fonte se move em relação ao observador é o efeito Doppler para fonte em movimento. Não estamos usando uma mudança na emissão da fonte, mas a diferença se deve ao movimento relativo entre fonte e observador.
  • Fórmula exata para fonte movendo-se ao longo da linha que liga fonte e observador e com o observador em repouso:
\nu'=\nu\frac{v_{0}}{v_{0}\mp v_{s}},
onde \nu' é a frequência observada, v_{s} é a componente da velocidade da fonte ao longo da linha de observação (positiva quando a fonte se aproxima do observador), e o sinal - no denominador corresponde ao caso de aproximação (a frequência aumenta), o sinal + corresponde ao caso de afastamento (a frequência diminui).
  • Como o enunciado afirma v_{\text{máx}}\ll v_{0}á, vou usar a aproximação de primeira ordem (expansão em série de Taylor)
\frac{v_{0}}{v_{0}\mp v_{s}}=\frac{1}{1\mp v_{s}/v_{0}}\approx 1\pm\frac{v_{s}}{v_{0}},
válida para \,v_{s}/v_{0}\ll 1. Assim, para pequenas velocidades:
\nu'\approx \nu\left(1\pm\frac{v_{s}}{v_{0}}\right).
  • A oscilação harmônica da massa tem posição e velocidade conhecidas: se tomamos a posição como
x(t)=A\cos(\omega t),
então a velocidade é
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t).
O módulo máximo da velocidade é
v_{\text{máx}}=A\omega.á
  • Observação sobre geometria: aqui se assume que o observador está localizado de modo que a componente radial (linha de vista) do movimento da fonte seja, para efeitos do problema, igual à velocidade horizontal v(t) (ou seja, a direção do observador é aproximadamente alinhada ao eixo do movimento). O enunciado não dá mais detalhes de geometria, portanto essa é a hipótese padrão para aplicar diretamente a fórmula unidimensional do Doppler.

Passo 3

Cálculo detalhado da variação de frequência (parte a)):
  • Usando a aproximação linear do Doppler, a frequência observada quando a fonte tem velocidade instantânea v_{s} vale
\nu'(t)\approx \nu\left(1+\frac{v_{s}(t)}{v_{0}}\right),
onde tomamos o sinal + quando v_{s} é positivo ao indicar aproximação (a fórmula com sinal funciona trocando o sinal de v_{s} conforme o sentido).
  • O valor máximo de \nu' ocorre quando v_{s}=v_{\text{máx}}=A\omegaá. Então
\nu_{\max}\approx \nu\left(1+\frac{A\omega}{v_{0}}\right).
  • O valor mínimo de \nu' ocorre quando v_{s}=-v_{\text{máx}}=-A\omegaá. Então
\nu_{\min}\approx \nu\left(1-\frac{A\omega}{v_{0}}\right).
  • A diferença entre máxima e mínima frequência escutada é
\Delta\nu=\nu_{\max}-\nu_{\min} \approx \nu\left(1+\frac{A\omega}{v_{0}}\right)-\nu\left(1-\frac{A\omega}{v_{0}}\right) =2\nu\frac{A\omega}{v_{0}}.
  • Isolando A desta expressão:
A=\frac{v_{0}\,\Delta\nu}{2\omega\,\nu}.
  • Lembrete final: como pedido pelo enunciado, \omega=\sqrt{k/m}, então pode-se também escrever
A=\frac{v_{0}\,\Delta\nu}{2\nu}\cdot\frac{1}{\omega} =\frac{v_{0}\,\Delta\nu}{2\nu}\cdot\frac{1}{\sqrt{k/m}}.

Passo 4

Explicação física curta e cheinha de empatia (para fixar o conceito):
  • Intuitivamente: quando o alto‑falante se aproxima, as cristas do som saem “mais juntas” e a frequência ouve-se maior; quando se afasta, as cristas chegam mais espaçadas e a frequência cai. Como a velocidade máxima da fonte é A\omega, a amplitude da variação relativa de frequência é proporcional a A\omega/v_{0}. Como o enunciado já deu a diferença total \Delta\nu entre máximo e mínimo, basta relacionar essa diferença com A — o que acabamos de fazer.
  • Força de incentivo: é normal travar com Doppler no começo, mas a ideia-chave é linearizar a fórmula quando a velocidade é muito menor que a velocidade do som; com isso tudo fica bem direto.

Passo 5

Batimentos (parte b): dedução detalhada do que o observador ouve com o segundo alto‑falante estacionário
  • Conceito de batimentos (didático): quando duas fontes sonoras de frequências próximas \nu_{1} e \nu_{2} são superpostas, o resultado é uma onda cuja amplitude varia com frequência igual à diferença absoluta entre as frequências:
\nu_{\text{bat}}=|\nu_{1}-\nu_{2}|.
Esse \nu_{\text{bat}} é a frequência do envelope (o “batimento”) que o ouvido percebe.
  • No nosso caso, após colocar um segundo alto‑falante idêntico, estacionário, esse alto‑falante emite exatamente \nu. O alto‑falante preso à massa em movimento produz, no observador, uma frequência instantânea \nu'(t) que varia entre \nu_{\min} e \nu_{\max} calculadas antes. Portanto o desvio instantâneo em relação a \nu é
\delta\nu(t)=|\nu'(t)-\nu|.
  • Como \nu'(t) oscila simetricamente em torno de \nu com amplitude \Delta\nu/2 (veja que \nu_{\max}=\nu+\Delta\nu/2 e \nu_{\min}=\nu-\Delta\nu/2), o maior deslocamento absoluto possível entre \nu'(t) e \nu é
\max_t \delta\nu(t)=\frac{\Delta\nu}{2}.
  • O batimento que o observador escuta entre a onda vinda do alto‑falante estacionário ( \nu) e a onda vinda do alto‑falante em movimento (frequência instantânea \nu'(t)) terá frequência instantânea dada por |\nu'-\nu|. Portanto a maior frequência de batimento que pode ser escutada, ao longo da oscilação, é aproximadamente
\nu_{\text{bat, max}}\simeq\frac{\Delta\nu}{2}.

Resposta

\displaystyle A=\frac{v_{0}\,\Delta\nu}{2\omega\,\nu}
\displaystyle \nu_{\text{bat, max}}\simeq\frac{\Delta\nu}{2}

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