Numa estação de trem, existem duas catapultas, separadas por uma distância L, cada uma delas contendo um relógio, sincronizado com o da outra. As catapultas são acionadas simultaneamente, por meio de dispositivos elétricos, de modo que os dois relógios são lançados no interior de um trem que passa em frente à estação, com velocidade V. No interior do trem, os dois relógios são apanhados por dois passageiros que, em seguida, caminham com velocidades iguais e muito baixas, um em direção ao outro, até se encontrarem. Determine a diferença entre os tempos marcados pelos dois relógios, supondo que eles permaneçam funcionando normalmente quando são atirados no trem.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Duas catapultas estão em repouso na estação e separadas por uma distância
. - Cada catapulta contém um relógio; os dois relógios estão sincronizados entre si no referencial da estação.
- As catapultas são acionadas simultaneamente no referencial da estação, ou seja os dois relógios são lançados para dentro do trem no mesmo instante segundo a estação.
- O trem passa com velocidade
relativa à estação. - No interior do trem, dois passageiros apanham cada relógio (cada um pega um relógio) e, em seguida, caminham com velocidades iguais e muito baixas um em direção ao outro até se encontrarem.
- Os relógios continuam funcionando normalmente quando são arremessados e depois enquanto são carregados pelos passageiros.
- Duas catapultas estão em repouso na estação e separadas por uma distância
- O que a questão pede:
- Determinar a diferença entre os tempos marcados pelos dois relógios quando eles são postos em contato (isto é, quando os passageiros se encontram e comparam os relógios).
Passo 2
Escolher referenciais e variáveis e explicar a ideia física que será usada (passo-a-passo do conceito).
- Vou chamar de
o referencial da estação (onde os relógios foram sincronizados e onde as catapultas estão separadas por ). - Vou chamar de
o referencial do trem (referencial onde os passageiros estão inicialmente em repouso). - Convenção de posições em
: o relógio 1 está em e o relógio 2 em (logo ); ambos são lançados ao mesmo tempo no referencial da estação. - Importante (conceito chave): a simultaneidade é relativa. Dois eventos simultâneos em
(aqui os lançamentos em ) não são simultâneos em . Vou usar a transformação de Lorentz para relacionar tempos e posições dos eventos de lançamento entre e . - Fórmula que usarei (transformação de tempo de Lorentz):
onde
. Aqui:
-
e são as coordenadas de um evento em ; -
é o tempo coordenado do mesmo evento em ; -
é a velocidade do trem em relação à estação; -
é a velocidade da luz. - Observação prática: como os passageiros andam com velocidades muito baixas em relação ao trem, os efeitos adicionais de dilatação de tempo durante o caminhar são desprezíveis na ordem considerada; mesmo assim, posso calcular exatamente o que acontece e verificar que o descompasso entre os relógios é fixo e dado por um valor independente do caminhar lento.
Passo 3
Aplicar a transformação de Lorentz aos dois eventos de lançamento (ambos com
em
) para obter as coordenadas temporais em
.
- Para o relógio 1 (posição
, evento de lançamento ):
- Para o relógio 2 (posição
, evento de lançamento ):
- Interpretação física didática: no referencial do trem
o lançamento do relógio 2 ocorreu antes do lançamento do relógio 1 por um intervalo de tempo
Ou seja, o relógio que foi lançado na posição de maior
(na direção do movimento) foi lançado mais cedo no tempo do trem.
Passo 4
Relacionar as leituras dos relógios com o tempo coordenado do trem e obter o descompasso entre as leituras.
- Imediatamente após o lançamento cada relógio passa a mover-se junto com o trem e, portanto, fica com posição fixa em
. Isso significa que, no referencial , cada relógio tem uma relação simples entre sua leitura (tempo próprio do relógio) e o tempo coordenado do trem: a leitura do relógio é o tempo coordenado mais uma constante (essa constante é o valor da leitura no instante do lançamento em ). - Seja
e as leituras dos relógios expressas como função do tempo coordenado do trem. Como ambos funcionam normalmente e, após o lançamento, permanecem com velocidade relativamente pequena (ou nula) no trem, temos, para cada relógio,
onde
é a constante de integração igual à leitura do relógio no instante em que o evento de lançamento ocorreu, menos o tempo coordenado
daquele evento.
- Nas coordenadas já calculadas:
- Para o relógio 1 o evento de lançamento ocorreu em
e sua leitura naquele evento (se tomarmos como referência que os relógios estavam sincronizados em e marcavam algum valor comum naquele instante) é . Assim . - Para o relógio 2 o evento de lançamento ocorreu em
e sua leitura naquele evento também é (pois foram sincronizados em ). Assim .
- Para o relógio 1 o evento de lançamento ocorreu em
- A diferença entre as leituras dos relógios em qualquer instante comum do trem (isto é, para um mesmo
) é então
Isso mostra que, no referencial do trem, o relógio que foi lançado na posição mais à frente (maior
no referencial da estação) marca um tempo maior que o outro por exatamente
, independente do instante
considerado enquanto ambos ficam praticamente ao repouso no trem.
Passo 5
Verificar que o caminhar lento dos passageiros não altera o resultado (consistência física) — cálculo explícito, mas simples.
- Após apanhar os relógios os passageiros caminham um contra o outro com pequena velocidade relativa ao trem
, e começam em instantes diferentes em (um começa em e o outro em ). Eles se encontram em algum tempo . Para cada relógio a leitura no encontro é a soma da leitura no momento do lançamento mais o tempo próprio acumulado entre o lançamento e o encontro. - O cálculo direto do tempo próprio acumulado mostra (segmentando o movimento: repouso até o pegar e depois caminhar com velocidade
) que a diferença final das leituras no encontro é
com
(conforme passo anterior). Como o enunciado diz que
é muito pequeno,
e a diferença aproxima-se de
. Mesmo sem desprezar
, o fator adicional
é o mesmo para ambos os relógios durante seus deslocamentos de caminhada (porque ambos caminham com mesma velocidade absoluta
), e o cálculo detalhado feito com as equações de movimento dá novamente a mesma diferença
quando se leva em conta corretamente os instantes de início distintos. Portanto o resultado do passo anterior é robusto: a diferença entre as leituras no encontro é
Passo 6
Interpretação física final e observação intuitiva.
- Física intuitiva: os relógios foram sincronizados no referencial da estação, e foram acelerados/lançados simultaneamente nesse referencial; no referencial do trem esses dois eventos não foram simultâneos — um relógio começou a contar antes do outro. Como os relógios passam a acompanhar o trem, esse descompasso inicial persiste e aparece quando os relógios são comparados dentro do trem.
- Sinal: o relógio que veio da catapulta mais à frente (na direção do movimento do trem) indica um tempo maior (mais adiantado) do que o outro por
. - Forma explícita da constante de Lorentz:
.