Numa estação de trem, existem duas catapultas, separadas por uma distância L, cada uma delas contendo um relógio, sincronizado com o da outra. As catapultas são acionadas simultaneamente, por meio de dispositivos elétricos, de modo que os dois relógios são lançados no interior de um trem que passa em frente à estação, com velocidade V. No interior do trem, os dois relógios são apanhados por dois passageiros que, em seguida, caminham com velocidades iguais e muito baixas, um em direção ao outro, até se encontrarem. Determine a diferença entre os tempos marcados pelos dois relógios, supondo que eles permaneçam funcionando normalmente quando são atirados no trem.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Duas catapultas estão em repouso na estação e separadas por uma distância \,L.
    • Cada catapulta contém um relógio; os dois relógios estão sincronizados entre si no referencial da estação.
    • As catapultas são acionadas simultaneamente no referencial da estação, ou seja os dois relógios são lançados para dentro do trem no mesmo instante segundo a estação.
    • O trem passa com velocidade \,V relativa à estação.
    • No interior do trem, dois passageiros apanham cada relógio (cada um pega um relógio) e, em seguida, caminham com velocidades iguais e muito baixas um em direção ao outro até se encontrarem.
    • Os relógios continuam funcionando normalmente quando são arremessados e depois enquanto são carregados pelos passageiros.
  • O que a questão pede:
    • Determinar a diferença entre os tempos marcados pelos dois relógios quando eles são postos em contato (isto é, quando os passageiros se encontram e comparam os relógios).

Passo 2

Escolher referenciais e variáveis e explicar a ideia física que será usada (passo-a-passo do conceito).
  • Vou chamar de S o referencial da estação (onde os relógios foram sincronizados e onde as catapultas estão separadas por \,L).
  • Vou chamar de S' o referencial do trem (referencial onde os passageiros estão inicialmente em repouso).
  • Convenção de posições em S: o relógio 1 está em x_1=0 e o relógio 2 em x_2=L (logo x_2>x_1); ambos são lançados ao mesmo tempo t=0 no referencial da estação.
  • Importante (conceito chave): a simultaneidade é relativa. Dois eventos simultâneos em S (aqui os lançamentos em t=0) não são simultâneos em S'. Vou usar a transformação de Lorentz para relacionar tempos e posições dos eventos de lançamento entre S e S'.
  • Fórmula que usarei (transformação de tempo de Lorentz):
t'=\gamma\!\left(t-\dfrac{Vx}{c^{2}}\right),
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-V^{2}/c^{2}}}. Aqui:
  • t e x são as coordenadas de um evento em S;
  • t' é o tempo coordenado do mesmo evento em S';
  • V é a velocidade do trem em relação à estação;
  • c é a velocidade da luz.
  • Observação prática: como os passageiros andam com velocidades muito baixas em relação ao trem, os efeitos adicionais de dilatação de tempo durante o caminhar são desprezíveis na ordem considerada; mesmo assim, posso calcular exatamente o que acontece e verificar que o descompasso entre os relógios é fixo e dado por um valor independente do caminhar lento.

Passo 3

Aplicar a transformação de Lorentz aos dois eventos de lançamento (ambos com t=0 em S) para obter as coordenadas temporais em S'.
  • Para o relógio 1 (posição x_1=0, evento de lançamento t=0):
t'_1=\gamma\!\left(0-\dfrac{V\cdot 0}{c^{2}}\right)=0.
  • Para o relógio 2 (posição x_2=L, evento de lançamento t=0):
t'_2=\gamma\!\left(0-\dfrac{V\cdot L}{c^{2}}\right)=-\gamma\,\dfrac{V L}{c^{2}}.
  • Interpretação física didática: no referencial do trem S' o lançamento do relógio 2 ocorreu antes do lançamento do relógio 1 por um intervalo de tempo
\Delta t' = t'_1-t'_2=\gamma\,\dfrac{V L}{c^{2}}.
Ou seja, o relógio que foi lançado na posição de maior x (na direção do movimento) foi lançado mais cedo no tempo do trem.

Passo 4

Relacionar as leituras dos relógios com o tempo coordenado do trem e obter o descompasso entre as leituras.
  • Imediatamente após o lançamento cada relógio passa a mover-se junto com o trem e, portanto, fica com posição fixa em S'. Isso significa que, no referencial S', cada relógio tem uma relação simples entre sua leitura (tempo próprio do relógio) e o tempo coordenado t' do trem: a leitura do relógio é o tempo coordenado t' mais uma constante (essa constante é o valor da leitura no instante do lançamento em S').
  • Seja \tau_1(t') e \tau_2(t') as leituras dos relógios expressas como função do tempo coordenado t' do trem. Como ambos funcionam normalmente e, após o lançamento, permanecem com velocidade relativamente pequena (ou nula) no trem, temos, para cada relógio,
\tau_i(t')=t'+C_i,
onde C_i é a constante de integração igual à leitura do relógio no instante em que o evento de lançamento ocorreu, menos o tempo coordenado t' daquele evento.
  • Nas coordenadas já calculadas:
    • Para o relógio 1 o evento de lançamento ocorreu em t'_1=0 e sua leitura naquele evento (se tomarmos como referência que os relógios estavam sincronizados em S e marcavam algum valor comum T_0 naquele instante) é T_0. Assim C_1=T_0-0=T_0.
    • Para o relógio 2 o evento de lançamento ocorreu em t'_2=-\gamma V L/c^{2} e sua leitura naquele evento também é T_0 (pois foram sincronizados em S). Assim C_2=T_0-t'_2=T_0+\gamma\dfrac{V L}{c^{2}}.
  • A diferença entre as leituras dos relógios em qualquer instante comum do trem (isto é, para um mesmo t') é então
\tau_2(t')-\tau_1(t')=C_2-C_1=\gamma\,\dfrac{V L}{c^{2}}.
Isso mostra que, no referencial do trem, o relógio que foi lançado na posição mais à frente (maior x no referencial da estação) marca um tempo maior que o outro por exatamente \gamma V L / c^{2}, independente do instante t' considerado enquanto ambos ficam praticamente ao repouso no trem.

Passo 5

Verificar que o caminhar lento dos passageiros não altera o resultado (consistência física) — cálculo explícito, mas simples.
  • Após apanhar os relógios os passageiros caminham um contra o outro com pequena velocidade relativa ao trem u, e começam em instantes diferentes em S' (um começa em t'_2 e o outro em t'_1). Eles se encontram em algum tempo t'_m. Para cada relógio a leitura no encontro é a soma da leitura no momento do lançamento mais o tempo próprio acumulado entre o lançamento e o encontro.
  • O cálculo direto do tempo próprio acumulado mostra (segmentando o movimento: repouso até o pegar e depois caminhar com velocidade u) que a diferença final das leituras no encontro é
\tau_2-\tau_1=\Delta t' \,\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}
com \Delta t'=\gamma V L/c^{2} (conforme passo anterior). Como o enunciado diz que u é muito pequeno, \sqrt{1-u^{2}/c^{2}}\approx 1 e a diferença aproxima-se de \gamma V L/c^{2}. Mesmo sem desprezar u, o fator adicional \sqrt{1-u^{2}/c^{2}} é o mesmo para ambos os relógios durante seus deslocamentos de caminhada (porque ambos caminham com mesma velocidade absoluta u), e o cálculo detalhado feito com as equações de movimento dá novamente a mesma diferença \gamma V L/c^{2} quando se leva em conta corretamente os instantes de início distintos. Portanto o resultado do passo anterior é robusto: a diferença entre as leituras no encontro é
\gamma\,\dfrac{V L}{c^{2}}.

Passo 6

Interpretação física final e observação intuitiva.
  • Física intuitiva: os relógios foram sincronizados no referencial da estação, e foram acelerados/lançados simultaneamente nesse referencial; no referencial do trem esses dois eventos não foram simultâneos — um relógio começou a contar antes do outro. Como os relógios passam a acompanhar o trem, esse descompasso inicial persiste e aparece quando os relógios são comparados dentro do trem.
  • Sinal: o relógio que veio da catapulta mais à frente (na direção do movimento do trem) indica um tempo maior (mais adiantado) do que o outro por \gamma V L/c^{2}.
  • Forma explícita da constante de Lorentz: \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-V^{2}/c^{2}}}.

Resposta

\tau_{2}-\tau_{1}=\gamma\,\dfrac{V L}{c^{2}}

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