Considere novamente o sistema do problema 20. Suponha que a partícula esteja sob ação de uma força de atrito cinético \vec{F}=-F \hat{i}. Calcule, separadamente, o torque sobre a partícula e mostre que ele é igual a taxa de variação do momento angular, em relação aos seguintes pontos:
Ponto de coordenadas (x=0, y=b, z=0).
Passo 1
O enunciado nos dá, diretamente, a força de atrito cinético sobre a partícula e o ponto em relação ao qual devemos trabalhar:
Força de atrito: \vec{F} = -F \,\hat{i}, com F>0 constante (vetor apontando na direção negativa do eixo x).
Ponto em relação ao qual calcular torque e momento angular: (x=0,\; y=b,\; z=0).
O que pede o problema:
Calcular o torque (moment de força) sobre a partícula em relação ao ponto (0,b,0).
Mostrar que esse torque é igual à taxa de variação do momento angular (isto é, \dfrac{d\vec{L}}{dt}) calculada também em relação ao mesmo ponto.
Informações implícitas que vou usar (não foi preciso nenhum dado adicional do “problema 20” para essas contas):
A posição instantânea genérica da partícula é \vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}.
A velocidade é \vec{v}=\dot{x}\hat{i}+\dot{y}\hat{j}+\dot{z}\hat{k} e a aceleração \vec{a}=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}+\ddot{z}\hat{k}.
Massa da partícula é m.
O ponto de referência fixo é \vec{r}_0 = 0\hat{i} + b\hat{j} + 0\hat{k}.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Definir o vetor posição da partícula relativo ao ponto escolhido. Esse vetor é o que usamos no torque e no momento angular.
Explicação didática do porquê: para calcular torque em relação a um ponto fixo, sempre usamos o vetor que vai do ponto de referência até a partícula. Aqui subtraiu-se as coordenadas do ponto referência das coordenadas da partícula.
Passo 3
Definição de torque e regra do produto vetorial que vamos usar.
O torque (momento de força) em relação ao ponto é definido por
\vec{\tau} = \vec{r}_P \times \vec{F}.
Lembrete sobre produto vetorial (cruz): se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) então
Comentário intuitivo: a força é horizontal (eixo x), então o torque tem componentes nas direções transversais \hat{j} e \hat{k} dependendo da posição vertical z e da diferença y-b.]
Passo 4
Definir momento angular em relação ao ponto e calcular sua derivada temporal.
O momento angular (angular momentum) em relação ao ponto é
\vec{L} = \vec{r}_P \times m\vec{v},
onde m é a massa e \vec{v} a velocidade da partícula.
Queremos mostrar que
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.
Calcule a derivada temporal usando a regra do produto vetorial:
\dfrac{d\vec{r}_P}{dt} = \vec{v}, porque \vec{r}_P é simplesmente a posição relativa ao ponto fixo; derivando em relação ao tempo obtemos a velocidade.
Produto vetorial de um vetor com ele mesmo é nulo: \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0}.
Se neste problema a única força que contribui é a força de atrito dada (ou se queremos apenas a contribuição dessa força), então \vec{F}_{\text{net}}=\vec{F}= -F\hat{i}. Portanto
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r}_P\times\vec{F}.
Mas \vec{r}_P\times\vec{F} é exatamente a definição de torque sobre a partícula em relação ao ponto. Logo
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.
Para fechar o círculo, podemos reusar a expressão de \vec{r}_P e de \vec{F} e ver que a componente-por-componente é a mesma que obtivemos no Passo 3: com \vec{F}=(-F,0,0) temos novamente
Fizemos duas coisas separadas: (i) calculamos diretamente o torque como \vec{r}_P\times\vec{F}; (ii) calculamos \dfrac{d\vec{L}}{dt} usando definições e regras de derivação e mostramos que a diferença temporal do momento angular reduz-se ao mesmo produto vetorial \vec{r}_P\times\vec{F}.
Conceitualmente, a razão pela qual aparece a anulação de um termo é física e matemática: o termo m(\dot{\vec r}_P\times\vec v) é m(\vec v\times\vec v)=0. Isso é uma identidade útil em problemas de partícula pontual quando o ponto de referência é fixo.
Em uma prova: memorize o passo chave (regra do produto vetorial + \dot{\vec r}_P=\vec v dá o termo \vec v\times\vec v que zera), e saiba calcular o produto vetorial com a tabela/determinante.