Considere novamente o sistema do problema 20. Suponha que a partícula esteja sob ação de uma força de atrito cinético \vec{F}=-F \hat{i}. Calcule, separadamente, o torque sobre a partícula e mostre que ele é igual a taxa de variação do momento angular, em relação aos seguintes pontos:
Ponto de coordenadas (x=0, y=b, z=0).

Passo 1

O enunciado nos dá, diretamente, a força de atrito cinético sobre a partícula e o ponto em relação ao qual devemos trabalhar:
  • Força de atrito: \vec{F} = -F \,\hat{i}, com F>0 constante (vetor apontando na direção negativa do eixo x).
  • Ponto em relação ao qual calcular torque e momento angular: (x=0,\; y=b,\; z=0).
O que pede o problema:
  1. Calcular o torque (moment de força) sobre a partícula em relação ao ponto (0,b,0).
  2. Mostrar que esse torque é igual à taxa de variação do momento angular (isto é, \dfrac{d\vec{L}}{dt}) calculada também em relação ao mesmo ponto.
Informações implícitas que vou usar (não foi preciso nenhum dado adicional do “problema 20” para essas contas):
  • A posição instantânea genérica da partícula é \vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}.
  • A velocidade é \vec{v}=\dot{x}\hat{i}+\dot{y}\hat{j}+\dot{z}\hat{k} e a aceleração \vec{a}=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}+\ddot{z}\hat{k}.
  • Massa da partícula é m.
  • O ponto de referência fixo é \vec{r}_0 = 0\hat{i} + b\hat{j} + 0\hat{k}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Definir o vetor posição da partícula relativo ao ponto escolhido. Esse vetor é o que usamos no torque e no momento angular.
O vetor posição relativo ao ponto (0,b,0) é
\vec{r}_P = \vec{r}-\vec{r}_0 = x\hat{i} + (y-b)\hat{j} + z\hat{k}.
Explicação didática do porquê: para calcular torque em relação a um ponto fixo, sempre usamos o vetor que vai do ponto de referência até a partícula. Aqui subtraiu-se as coordenadas do ponto referência das coordenadas da partícula.

Passo 3

Definição de torque e regra do produto vetorial que vamos usar.
O torque (momento de força) em relação ao ponto é definido por
\vec{\tau} = \vec{r}_P \times \vec{F}.
Lembrete sobre produto vetorial (cruz): se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) então
\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] A_x & A_y & A_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Isso dá componentes explícitas
\vec{A}\times\vec{B} = \big(A_yB_z - A_zB_y\big)\hat{i} - \big(A_xB_z - A_zB_x\big)\hat{j} + \big(A_xB_y - A_yB_x\big)\hat{k}.
Agora aplico com \vec{r}_P = (x,\;y-b,\;z) e \vec{F}=(-F,\;0,\;0).
Calculemos cada componente:
  • Componente \hat{i}:
(\,y-b\,)\cdot 0 - z\cdot 0 = 0.
  • Componente \hat{j}:
- \big( x\cdot 0 - z\cdot(-F)\big) = -\big(0 + zF\big) = -zF.
  • Componente \hat{k}:
x\cdot 0 - (y-b)\cdot(-F) = 0 + F(y-b) = F(y-b).
Portanto o torque é
\vec{\tau} = 0\;\hat{i} \;-\; F z \;\hat{j} \;+\; F(y-b)\;\hat{k}.
Ou, de forma mais compacta,
\boxed{\vec{\tau} = -F z\,\hat{j} + F(y-b)\,\hat{k}.}
Comentário intuitivo: a força é horizontal (eixo x), então o torque tem componentes nas direções transversais \hat{j} e \hat{k} dependendo da posição vertical z e da diferença y-b.]

Passo 4

Definir momento angular em relação ao ponto e calcular sua derivada temporal.
O momento angular (angular momentum) em relação ao ponto é
\vec{L} = \vec{r}_P \times m\vec{v},
onde m é a massa e \vec{v} a velocidade da partícula.
Queremos mostrar que
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.
Calcule a derivada temporal usando a regra do produto vetorial:
\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}\big(\vec{r}_P \times m\vec{v}\big) = m\bigg(\frac{d\vec{r}_P}{dt}\times\vec{v} + \vec{r}_P\times\frac{d\vec{v}}{dt}\bigg).
Agora observar dois pontos importantes:
  1. \dfrac{d\vec{r}_P}{dt} = \vec{v}, porque \vec{r}_P é simplesmente a posição relativa ao ponto fixo; derivando em relação ao tempo obtemos a velocidade.
  2. Produto vetorial de um vetor com ele mesmo é nulo: \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0}.
Assim o primeiro termo some:
m\frac{d\vec{r}_P}{dt}\times\vec{v} = m(\vec{v}\times\vec{v}) = \vec{0}.
Fica então
\frac{d\vec{L}}{dt} = m\big(\vec{r}_P\times\vec{a}\big),
onde \vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt} é a aceleração.
Pela segunda lei de Newton (forças resultantes),
m\vec{a} = \vec{F}_{\text{net}}.
Se neste problema a única força que contribui é a força de atrito dada (ou se queremos apenas a contribuição dessa força), então \vec{F}_{\text{net}}=\vec{F}= -F\hat{i}. Portanto
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r}_P\times\vec{F}.
Mas \vec{r}_P\times\vec{F} é exatamente a definição de torque sobre a partícula em relação ao ponto. Logo
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.
Para fechar o círculo, podemos reusar a expressão de \vec{r}_P e de \vec{F} e ver que a componente-por-componente é a mesma que obtivemos no Passo 3: com \vec{F}=(-F,0,0) temos novamente
\frac{d\vec{L}}{dt} = -F z\,\hat{j} + F(y-b)\,\hat{k},
igual a \vec{\tau} calculado anteriormente.

Passo 5

Interpretação final e reforço didático.
  • Fizemos duas coisas separadas: (i) calculamos diretamente o torque como \vec{r}_P\times\vec{F}; (ii) calculamos \dfrac{d\vec{L}}{dt} usando definições e regras de derivação e mostramos que a diferença temporal do momento angular reduz-se ao mesmo produto vetorial \vec{r}_P\times\vec{F}.
  • Conceitualmente, a razão pela qual aparece a anulação de um termo é física e matemática: o termo m(\dot{\vec r}_P\times\vec v) é m(\vec v\times\vec v)=0. Isso é uma identidade útil em problemas de partícula pontual quando o ponto de referência é fixo.
  • Em uma prova: memorize o passo chave (regra do produto vetorial + \dot{\vec r}_P=\vec v dá o termo \vec v\times\vec v que zera), e saiba calcular o produto vetorial com a tabela/determinante.

Resposta

\vec{\tau} = -F z\,\hat{j} + F(y-b)\,\hat{k}.\n
\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} = -F z\,\hat{j} + F(y-b)\,\hat{k}.

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