5- Uma fonte de Cobalto-60 foi adquirida com atividade de 1850 \mathrm{GBq}(50 \mathrm{Ci}). Após decorrido 20 anos, qual atividade da fonte ? ( 0,5 pontos). Meia vida do Co-60 é 5,3 anos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a atividade da fonte de Cobalto-60 após decorrido 20 anos.
Informações fornecidas:
  • Atividade inicial: A_0 = 1850\\ \mathrm{GBq} (o enunciado também informou 50\\ \mathrm{Ci}, que corresponde a 1850\\ \mathrm{GBq} porque 1\\ \mathrm{Ci}=37\\ \mathrm{GBq}).
  • Tempo decorrido: t = 20\\ \text{anos}.
  • Meia-vida do \mathrm{Co}\text{-}60: T_{1/2} = 5,3\\ \text{anos}.
O que será calculado: a atividade A(t) da fonte após t=20 anos, preferivelmente em \mathrm{GBq} (e também em \mathrm{Ci} para comparação).

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rápida): decaimento radioativo é exponencial. A atividade em um tempo t é dada por
A(t)=A_0 e^{-\lambda t},
onde:
  • A(t) é a atividade no tempo t,
  • A_0 é a atividade inicial ( t=0),
  • \lambda é a constante de decaimento (unidade: \text{anos}^{-1} aqui),
  • e é a base dos logaritmos naturais.
A constante \lambda relaciona-se com a meia-vida T_{1/2} por
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Explicação: a meia-vida T_{1/2} é o tempo em que a atividade cai para metade; usando A(T_{1/2})=A_0/2 na equação exponencial obtém-se a relação acima.
Outra forma prática, usando diretamente meia-vida, é
A(t)=A_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}},
que vem de substituir \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} na fórmula com exponencial.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula prática com meia-vida. Substituindo os valores conhecidos:
A(20)=1850\cdot 2^{-\,20/5,3}\\ \mathrm{GBq}.
Aqui calculamos o número de meias-vidas decorridas:
\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{20}{5,3}.

Passo 4

Calcular o quociente \dfrac{20}{5,3}. Faço a divisão:
\frac{20}{5,3}\approx 3,773584905660377.
Interpretação: passaram-se cerca de 3,77 meias-vidas.

Passo 5

Calcular o fator de redução 2^{-\,20/5,3}. Usando a relação com exponencial:
2^{-\,20/5,3}=e^{-\,(\ln 2)\cdot(20/5,3)}.
Primeiro calculo (\ln 2)\cdot(20/5,3). Sabendo \ln 2\approx 0,69314718056,
(\ln 2)\cdot\frac{20}{5,3}\approx 0,69314718056\times 3,77358490566 \approx 2,6156\\ (\text{aprox.}).
Portanto
2^{-\,20/5,3}\approx e^{-2,6156}\approx 0,0732\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Agora calculo a atividade final multiplicando pelo fator:
A(20)=1850\times 0,0732\approx 135,4\\ \mathrm{GBq}.
Arredondando de forma prática para dois algarismos significativos relevantes, isso dá aproximadamente 1,35\times10^{2}\\ \mathrm{GBq}.

Passo 7

Converter para curies (opcional, já que o enunciado deu também 50\\ \mathrm{Ci} inicialmente). Usa-se 1\\ \mathrm{Ci}=37\\ \mathrm{GBq}. Logo
A(20)\\ (\mathrm{Ci})=\frac{135,4}{37}\approx 3,66\\ \mathrm{Ci}.

Passo 8

Comentário final curto e incentivo: em problemas de decaimento radioativo é muito útil memorizar as duas formas A(t)=A_0 e^{-\lambda t} e A(t)=A_0 2^{-t/T_{1/2}}. Para prova, se der meia-vida use a segunda forma — é direta e rápida. Vai dar tudo certo, respira fundo!

Resposta

A(20)\approx 1,35\times10^{2}\\ \mathrm{GBq}
A(20)\approx 3,66\\ \mathrm{Ci}

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