Considere e um número real positivo, com e \neq 1, e F(c, 0) \in \mathbb{R}^{2}. Considere, ainda, a reta r: x=\frac{c}{e^{2}}. Desse modo, mostre que se P(x, y) satisfaz
\operatorname{dist}(F, P)=e \cdot \operatorname{dist}(P, r)
então,
para 0<e<1, P pertence a uma elipse com a=\frac{c}{e} e a^{2}=b^{2}+c^{2};
para e>1, P pertence a uma hipérbole com a=\frac{c}{e} e c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Ação 1: A partir do enunciado, desenvolva a equação proposta.
Ação 2: Quando possível, substitua as condições indicadas no item a) ou as condições indicadas no item b).
Ação 3: Verifique que cada item leva a uma equação equivalente à equação estudada para a respectiva cônica citada.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei os dados e as perguntas claramente):
  • Dados:
    • e é um número real positivo com e \neq 1.
    • O foco F tem coordenadas F(c,0) em \mathbb{R}^2.
    • A reta r é a reta vertical dada por r: x=\dfrac{c}{e^{2}}.
    • Um ponto genérico P tem coordenadas P(x,y).
    • A condição sobre P é \operatorname{dist}(F,P)=e\cdot\operatorname{dist}(P,r).
  • O que pediram que se mostre:
    • Derivar a equação cartesiana correspondente à condição dada (Ação 1).
    • Substituir e simplificar usando as hipóteses de cada caso (Ação 2):
      • caso (a): 0<e<1;
      • caso (b): e>1.
    • Verificar que cada caso leva à equação padrão da cônica correspondente (Ação 3), e identificar a e b nas formas pedidas:
      • para 0<e<1: que P pertence a uma elipse com a=\dfrac{c}{e} e a^{2}=b^{2}+c^{2};
      • para e>1: que P pertence a uma hipérbole com a=\dfrac{c}{e} e c^{2}=a^{2}+b^{2}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escolher coordenadas e escrever as distâncias (fórmulas básicas).
  • Coloco P(x,y) como ponto genérico.
  • Distância do foco F(c,0) até P(x,y) é a distância euclidiana:
    \operatorname{dist}(F,P)=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
    Explicação breve: a fórmula vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo com catetos x-c e y.
  • Distância de P(x,y) até a reta vertical r:x=\dfrac{c}{e^{2}} é o valor absoluto da diferença das abscissas:
    \operatorname{dist}(P,r)=\left|x-\dfrac{c}{e^{2}}\right|.
    Explicação: para uma reta vertical x=x_0, a menor distância é a diferença horizontal em módulo.
Portanto a condição dada se escreve:
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=e\left|x-\dfrac{c}{e^{2}}\right|.

Passo 3

Eliminar a raiz e tratar o valor absoluto (justificativa de manipulação algébrica).
  • Ambos os lados da igualdade são não negativos (distâncias), então podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Ao elevar ao quadrado obtemos: (x-c)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x-\dfrac{c}{e^{2}}\right)^{2}.Observação: a presença do valor absoluto não cria problema aqui, pois \left|x-\dfrac{c}{e^{2}}\right|^{2}=\left(x-\dfrac{c}{e^{2}}\right)^{2}.

Passo 4

Expandir e simplificar a equação resultante.
  • Expando os dois lados:
    (x-c)^{2}+y^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2},
    e
    e^{2}\left(x-\dfrac{c}{e^{2}}\right)^{2}=e^{2}\left(x^{2}-2x\cdot\dfrac{c}{e^{2}}+\dfrac{c^{2}}{e^{4}}\right) =e^{2}x^{2}-2cx+\dfrac{c^{2}}{e^{2}}.
  • Igualando e simplificando (observe que os termos em -2cx se cancelam):
    x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=e^{2}x^{2}-2cx+\dfrac{c^{2}}{e^{2}}
\Longrightarrow x^{2}+y^{2}+c^{2}=e^{2}x^{2}+\dfrac{c^{2}}{e^{2}}.
  • Passando termos para um lado:
    (1-e^{2})x^{2}+y^{2}+c^{2}-\dfrac{c^{2}}{e^{2}}=0.
  • Escrevo o termo constante de forma mais explícita:
    c^{2}-\dfrac{c^{2}}{e^{2}}=c^{2}\left(1-\dfrac{1}{e^{2}}\right)=\dfrac{c^{2}(e^{2}-1)}{e^{2}}.
  • Substituindo:
    (1-e^{2})x^{2}+y^{2}+\dfrac{c^{2}(e^{2}-1)}{e^{2}}=0.

Passo 5

Rearranjo conveniente para introduzir a=\dfrac{c}{e}.
  • Multiplico a equação anterior por -1 para deixar um coeficiente positivo quando conveniente:
    (e^{2}-1)x^{2}-y^{2}-\dfrac{c^{2}(e^{2}-1)}{e^{2}}=0.
  • Como e\neq1, posso dividir por e^{2}-1 (o sinal desta quantidade é o que vai distinguir elipse/hipérbole):
    x^{2}-\dfrac{y^{2}}{e^{2}-1}=\dfrac{c^{2}}{e^{2}}.
  • Agora uso a definição sugerida no enunciado:
    a=\dfrac{c}{e}\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=\dfrac{c^{2}}{e^{2}}.
    Substituindo o lado direito por a^{2} obtemos a forma intermediária
    x^{2}-\dfrac{y^{2}}{e^{2}-1}=a^{2}.
  • Coloco na forma normal dividindo por a^{2}:
    \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{a^{2}(e^{2}-1)}=1.
    Aqui aparece já a forma canônica de uma cônica central cuja natureza depende de e^{2}-1.

Passo 6

Caso (a): 0<e<1. Mostrar que a equação é a de uma elipse e identificar b.
  • Quando 0<e<1 temos e^{2}-1<0. É mais claro reorganizar a equação original antes de dividir: volto à forma
    (1-e^{2})x^{2}+y^{2}-\dfrac{c^{2}(1-e^{2})}{e^{2}}=0,
    porque e^{2}-1=-(1-e^{2}).
  • Factorizo 1-e^{2}>0:
    (1-e^{2})\Bigl(x^{2}-\dfrac{c^{2}}{e^{2}}\Bigr)+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=(1-e^{2})\Bigl(\dfrac{c^{2}}{e^{2}}-x^{2}\Bigr).
  • Coloco na forma padrão de elipse dividindo por \dfrac{c^{2}}{e^{2}}:
    \dfrac{x^{2}}{c^{2}/e^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(1-e^{2})c^{2}/e^{2}}=1.
  • Usando a^{2}=\dfrac{c^{2}}{e^{2}} já definido, defino
    b^{2}=\dfrac{c^{2}(1-e^{2})}{e^{2}}=a^{2}(1-e^{2}).
    Então a equação fica
    \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1,
    que é a equação padrão de uma elipse com semi-eixo maior (no eixo x) a e semi-eixo menor b.
  • Verificação da relação pedida:
    a^{2}= \dfrac{c^{2}}{e^{2}} \quad\text{e}\quad b^{2}=a^{2}(1-e^{2})
\Longrightarrow a^{2}-b^{2}=a^{2}-a^{2}(1-e^{2})=a^{2}e^{2}=\dfrac{c^{2}}{e^{2}}e^{2}=c^{2}.
Portanto
a^{2}=b^{2}+c^{2},
que é exatamente a relação indicada no enunciado para a elipse.

Passo 7

Caso (b): e>1. Mostrar que a equação é a de uma hipérbole e identificar b.
  • Quando e>1 temos e^{2}-1>0. Retomo a forma que já obtive antes de dividir:
    x^{2}-\dfrac{y^{2}}{e^{2}-1}=a^{2}.
  • Dividindo por a^{2} obtenho a forma canônica:
    \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{a^{2}(e^{2}-1)}=1.
    Isto é uma hipérbole com semi-eixo real a e semi-eixo imaginário (o termo do y) dado por b tal que
    b^{2}=a^{2}(e^{2}-1).
  • Verificação da relação pedida entre a,b,c:
    a^{2}+b^{2}=a^{2}+a^{2}(e^{2}-1)=a^{2}e^{2}.
    Usando a^{2}=\dfrac{c^{2}}{e^{2}} resulta
    a^{2}+b^{2}=a^{2}e^{2}=\dfrac{c^{2}}{e^{2}}e^{2}=c^{2}.
    Portanto
    c^{2}=a^{2}+b^{2},
    que coincide com a relação indicada no enunciado para a hipérbole.

Passo 8

Comentário interpretrativo rápido (por que isso faz sentido geometricamente).
  • A equação inicial \operatorname{dist}(F,P)=e\cdot\operatorname{dist}(P,r) é exatamente a definição de cônica com foco F, diretriz r e excentricidade e. Quando 0<e<1 obtém-se uma elipse; quando e>1 obtém-se uma hipérbole. O cálculo algébrico acima confirma isso e identifica explicitamente a=\dfrac{c}{e} e a relação entre a,b,c.

Resposta

Para 0<e<1: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a=\dfrac{c}{e} e a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Para e>1: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a=\dfrac{c}{e} e c^{2}=a^{2}+b^{2}.

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