Considere e um número real positivo, com e \neq 1, e F(c, 0) \in \mathbb{R}^{2}. Considere, ainda, a reta r: x=\frac{c}{e^{2}}. Desse modo, mostre que se P(x, y) satisfaz
então,
para 0<e<1, P pertence a uma elipse com a=\frac{c}{e} e a^{2}=b^{2}+c^{2};
para e>1, P pertence a uma hipérbole com a=\frac{c}{e} e c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Ação 1: A partir do enunciado, desenvolva a equação proposta.
Ação 2: Quando possível, substitua as condições indicadas no item a) ou as condições indicadas no item b).
Ação 3: Verifique que cada item leva a uma equação equivalente à equação estudada para a respectiva cônica citada.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei os dados e as perguntas claramente):
Dados:
e é um número real positivo com e \neq 1.
O foco F tem coordenadas F(c,0) em \mathbb{R}^2.
A reta r é a reta vertical dada por r: x=\dfrac{c}{e^{2}}.
Um ponto genérico P tem coordenadas P(x,y).
A condição sobre P é\operatorname{dist}(F,P)=e\cdot\operatorname{dist}(P,r).
O que pediram que se mostre:
Derivar a equação cartesiana correspondente à condição dada (Ação 1).
Substituir e simplificar usando as hipóteses de cada caso (Ação 2):
caso (a): 0<e<1;
caso (b): e>1.
Verificar que cada caso leva à equação padrão da cônica correspondente (Ação 3), e identificar a e b nas formas pedidas:
para 0<e<1: que P pertence a uma elipse com a=\dfrac{c}{e} e a^{2}=b^{2}+c^{2};
para e>1: que P pertence a uma hipérbole com a=\dfrac{c}{e} e c^{2}=a^{2}+b^{2}.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Escolher coordenadas e escrever as distâncias (fórmulas básicas).
Coloco P(x,y) como ponto genérico.
Distância do foco F(c,0) até P(x,y) é a distância euclidiana:
\operatorname{dist}(F,P)=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
Explicação breve: a fórmula vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo com catetos x-c e y.
Distância de P(x,y) até a reta vertical r:x=\dfrac{c}{e^{2}} é o valor absoluto da diferença das abscissas:
Eliminar a raiz e tratar o valor absoluto (justificativa de manipulação algébrica).
Ambos os lados da igualdade são não negativos (distâncias), então podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Ao elevar ao quadrado obtemos:(x-c)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x-\dfrac{c}{e^{2}}\right)^{2}.Observação: a presença do valor absoluto não cria problema aqui, pois \left|x-\dfrac{c}{e^{2}}\right|^{2}=\left(x-\dfrac{c}{e^{2}}\right)^{2}.
que coincide com a relação indicada no enunciado para a hipérbole.
Passo 8
Comentário interpretrativo rápido (por que isso faz sentido geometricamente).
A equação inicial \operatorname{dist}(F,P)=e\cdot\operatorname{dist}(P,r) é exatamente a definição de cônica com foco F, diretriz r e excentricidade e. Quando 0<e<1 obtém-se uma elipse; quando e>1 obtém-se uma hipérbole. O cálculo algébrico acima confirma isso e identifica explicitamente a=\dfrac{c}{e} e a relação entre a,b,c.
Resposta
Para 0<e<1: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a=\dfrac{c}{e} e a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Para e>1: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a=\dfrac{c}{e} e c^{2}=a^{2}+b^{2}.