Q9: Assinale o subespaço que, para um valor apropriado de e, é o conjunto-solução de \left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 6 & 3 & y & 0 \\\\ 0 & 1 & -7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right].
(A) \operatorname{span}\{(7,0, *, 4)\}
(B) \operatorname{span}\{(-7,4, *, 0)\}
(C) \operatorname{span}\{(0,4, *, 7)\}
(D) \operatorname{span}\{(4,7, *, 0)\}
(D) \operatorname{span}\{(-4,7, *, 0)\}
(F) \operatorname{span}\{(7,4, *, 0)\}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Foi dada a matriz aumentada (homogênea) em forma escalonada
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 6 & 3 & y & 0 \\\\ 0 & 1 & -7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
(Nota: o enunciado escreveu a letra y na entrada (1,4). Vou chamar esse número de \varepsilon quando for útil, mas logo veremos que o valor dessa entrada não altera a solução do sistema homogêneo.)
  • As colunas correspondem (pela ordem usual) às incógnitas que chamarei de x_1,x_2,x_3,x_4. A coluna aumentada é zero, portanto o sistema é homogêneo.
  • O enunciado pede: identificar o subespaço que é o conjunto- solução desse sistema (ou seja, o espaço das soluções), e escolher a opção correta entre as dadas. As opções estão no formato \operatorname{span}\{\cdots\} com um terceiro componente indicado por * (que significa “algum número”), e vários vetores têm a quarta componente igual a 0 ou a outro valor.

Passo 2

Vou escrever explicitamente as equações lineares que correspondem às linhas da matriz (cada linha da forma coeficientes | termo independente).
A primeira linha dá
x_1 + 6x_2 + 3x_3 + \varepsilon x_4 = 0,
onde usei \varepsilon para a entrada que o enunciado escreveu como y.
A segunda linha dá
x_2 - 7x_3 = 0.
A terceira linha dá
x_4 = 0.
Essas três equações formam o sistema linear homogêneo que vamos resolver.

Passo 3

Identificar variáveis básicas (com pivôs) e variáveis livres.
  • Da terceira equação temos \,x_4=0. Logo x_4 é uma variável básica fixada em 0.
  • Da segunda equação temos \,x_2 -7x_3=0, ou seja \,x_2=7x_3. Aqui x_2 é variável básica expressa em função de x_3.
  • A primeira equação é \,x_1 +6x_2 +3x_3 +\varepsilon x_4=0. Substituindo x_4=0 (da linha 3) reduzimos a primeira equação a
x_1 + 6x_2 + 3x_3 = 0.
Portanto a única variável que resta como livre é x_3. Vou parametrizá-la.

Passo 4

Expressar todas as incógnitas em função do parâmetro livre.
Escolha o parâmetro t para representar x_3, isto é
x_3 = t.
Da segunda equação recebemos
x_2 = 7x_3 = 7t.
Da terceira equação já temos
x_4 = 0.
Substituindo x_2 e x_3 na primeira equação:
x_1 + 6x_2 + 3x_3 = x_1 + 6(7t) + 3t = x_1 + 42t + 3t = x_1 + 45t = 0.
Logo
x_1 = -45t.

Passo 5

Escrever o vetor solução e o subespaço gerado.
Juntando as coordenadas,
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (-45t,\;7t,\;t,\;0) = t(-45,\,7,\,1,\,0).
Portanto o conjunto- solução é o subespaço gerado por
\operatorname{span}\{(-45,\,7,\,1,\,0)\}.
Observe que o valor de \varepsilon (a entrada y da matriz) não aparece na solução final porque x_4=0 anula esse termo na primeira equação; assim qualquer valor de \varepsilon leva ao mesmo conjunto de soluções.

Passo 6

Comparação com as alternativas (explicação rápida).
  • A solução exige vetores com quarta componente 0 (pois x_4=0), então alternativas com quarta componente diferente de 0 estão imediatamente eliminadas.
  • Nosso gerador tem a razão entre as primeiras duas coordenadas \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{-45}{7}. Nenhuma das alternativas cujo primeiro e segundo componentes são escritos de forma fixa (por exemplo (4,7,*,0), (-4,7,*,0), (-7,4,*,0), (7,4,*,0)) tem essa mesma razão; portanto nenhuma das alternativas exatamente coincide com \operatorname{span}\{(-45,7,1,0)\}.
Conclusão: o conjunto-solução é \operatorname{span}\{(-45,7,1,0)\}.

Resposta

\operatorname{span}\{(-45,\,7,\,1,\,0)\}

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