Calcule o perímetro do triângulo A B C sabendo-se que:
(I) A pertence ao eixo das abscissas;
(II) B pertence à bissetriz b_{13};
(III) a equação da reta A C é x+y-4=0;
(IV) a equação da reta B C é 2 x-3 y+7=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • A pertence ao eixo das abscissas.
  • B pertence à bissetriz b_{13}.
  • A equação da reta A C é \,x+y-4=0.
  • A equação da reta B C é \,2x-3y+7=0.
O que o problema pede:
  • Calcular o perímetro do triângulo A B C.
Observações importantes que uso a seguir (sem resolver ainda):
  • Por “ A pertence ao eixo das abscissas” significa que a ordenada de A é zero, isto é y_A=0.
  • A bissetriz b_{13} é a bissetriz dos quadrantes I e III, que é a reta \,y=x. Portanto B satisfaz y_B=x_B.
  • Os pontos A, B, C são interseções adequadas das retas dadas, que vou determinar a seguir.

Passo 2

Determinar o ponto C como interseção das retas A C e B C.
As equações são
x+y-4=0
2x-3y+7=0.
Da primeira equação isolamos y:
y=4-x.
Substituindo na segunda:
2x-3(4-x)+7=0.
Desenvolvendo:
2x-12+3x+7=0
5x-5=0
x=1.
Então
y=4-x=4-1=3.
Portanto
C=(1,3).

Passo 3

Determinar o ponto A. Como A pertence ao eixo das abscissas, y_A=0. A também está na reta A C:\;x+y-4=0. Logo substituo y=0 nessa reta:
x+0-4=0\quad\Rightarrow\quad x=4.
Assim
A=(4,0).

Passo 4

Determinar o ponto B. B pertence à bissetriz b_{13}, ou seja à reta y=x, e também pertence à reta B C:\;2x-3y+7=0. Substituo y=x nessa última:
2x-3x+7=0
-x+7=0
x=7.
Então y=7 e
B=(7,7).

Passo 5

Agora que temos as coordenadas dos vértices
A=(4,0),\qquad B=(7,7),\qquad C=(1,3),
calculo os comprimentos dos lados usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Lembrete da fórmula (mini-aula): para dois pontos P_1=(x_1,y_1) e P_2=(x_2,y_2), a distância entre eles é
d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aqui (x_2-x_1) é a diferença das abscissas e (y_2-y_1) a diferença das ordenadas; a fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo retângulo formado por essas diferenças.
Calculo AB:
AB=\sqrt{(7-4)^2+(7-0)^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}.
Calculo BC:
BC=\sqrt{(1-7)^2+(3-7)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}.
E simplificando \sqrt{52}= \sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}.
Calculo CA:
CA=\sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}.
E simplificando \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}.

Passo 6

Somando os três lados para obter o perímetro P:
P=AB+BC+CA=\sqrt{58}+ \sqrt{52}+\sqrt{18}.
Substituindo as formas simplificadas:
P=\sqrt{58}+2\sqrt{13}+3\sqrt{2}.
Se quiser uma checagem numérica aproximada (apenas para confirmar): \sqrt{58}\approx7{,}6158, 2\sqrt{13}\approx7{,}2111, 3\sqrt{2}\approx4{,}2426, soma \approx19{,}0695. Mas a forma exata é preferível.

Resposta

\sqrt{58}+2\sqrt{13}+3\sqrt{2}

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