Calcule o perímetro do triângulo
sabendo-se que:
(I)
pertence ao eixo das abscissas;
(II)
pertence à bissetriz
;
(III) a equação da reta
é
;
(IV) a equação da reta
é
.
(I)
(II)
(III) a equação da reta
(IV) a equação da reta
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
-
pertence ao eixo das abscissas. -
pertence à bissetriz . - A equação da reta
é . - A equação da reta
é .
O que o problema pede:
- Calcular o perímetro do triângulo
.
Observações importantes que uso a seguir (sem resolver ainda):
- Por “
pertence ao eixo das abscissas” significa que a ordenada de é zero, isto é . - A bissetriz
é a bissetriz dos quadrantes I e III, que é a reta . Portanto satisfaz . - Os pontos
, , são interseções adequadas das retas dadas, que vou determinar a seguir.
Passo 2
Determinar o ponto
como interseção das retas
e
.
As equações são
Da primeira equação isolamos
:
Substituindo na segunda:
Desenvolvendo:
Então
Portanto
Passo 3
Determinar o ponto
. Como
pertence ao eixo das abscissas,
.
também está na reta
. Logo substituo
nessa reta:
Assim
Passo 4
Determinar o ponto
.
pertence à bissetriz
, ou seja à reta
, e também pertence à reta
. Substituo
nessa última:
Então
e
Passo 5
Agora que temos as coordenadas dos vértices
calculo os comprimentos dos lados usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Lembrete da fórmula (mini-aula): para dois pontos
e
, a distância entre eles é
Aqui
é a diferença das abscissas e
a diferença das ordenadas; a fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo retângulo formado por essas diferenças.
Calculo
:
Calculo
:
E simplificando
.
Calculo
:
E simplificando
.
Passo 6
Somando os três lados para obter o perímetro
:
Substituindo as formas simplificadas:
Se quiser uma checagem numérica aproximada (apenas para confirmar):
,
,
, soma
. Mas a forma exata é preferível.