(2,5 pt.) Considere os números complexos z_{1}=1+i e z_{2}=\sqrt{3}-i.
(a) (0,5 \mathrm{pt}. ) Calcule o produto z_{1} z_{2} na forma algébrica.
(b) (0,5 \mathrm{pt}. ) Determine o módulo \left|z_{2}\right|ó e o argumento principal \arg \left(z_{2}\right) de z_{2}.
(c) (0,5 \mathrm{pt}. ) Escreva z_{2} na forma polar r e^{i \theta}.
(d) \left(0,5\right. pt.) Calcule \left(z_{1}\right)^{4}.
(e) \left(0,5\right. pt.) Calcule as raízes cúbicas de z_{2}, w=\sqrt[3]{z_{2}}, e expresse a raiz principal na forma polar.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z_{1}=1+i e z_{2}=\sqrt{3}-i e pede:
  • (a) calcular o produto z_{1}z_{2} na forma algébrica;
  • (b) determinar o módulo \lvert z_{2}\rvert e o argumento principal \arg(z_{2}) de z_{2};
  • (c) escrever z_{2} na forma polar r e^{i\theta};
  • (d) calcular (z_{1})^{4};
  • (e) calcular as raízes cúbicas de z_{2}, isto é w=\sqrt[3]{z_{2}}, e expressar a raiz principal na forma polar.
Dados relevantes: z_{1}=1+i (parte real 1, parte imaginária 1); z_{2}=\sqrt{3}-i (parte real \sqrt{3}, parte imaginária -1).

Passo 2

(a) Vamos multiplicar z_{1} por z_{2} usando a distributiva (produto de binômios) e lembrar que i^{2}=-1. Escrevo a multiplicação e simplifico termo a termo:
z_{1}z_{2}=(1+i)(\sqrt{3}-i).
Agora distribuo:
(1+i)(\sqrt{3}-i)=1\cdot\sqrt{3}+1\cdot(-i)+i\cdot\sqrt{3}+i\cdot(-i).
Agrupando termos reais e imaginários e usando i^{2}=-1:
= \sqrt{3} - i + i\sqrt{3} - i^{2} = \sqrt{3} - i + i\sqrt{3} -(-1).
Portanto:
= (\sqrt{3}+1) + i(\sqrt{3}-1).
Isto nos dá o produto na forma algébrica (parte real e parte imaginária separadas).

Passo 3

(b) Para calcular o módulo e o argumento de z_{2} é preciso lembrar:
  • O módulo de um complexo z=x+iy é \lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O argumento (principal) é o ângulo \theta tal que \tan\theta=\dfrac{y}{x}, ajustando o quadrante para o sinal de x e y. O argumento principal \arg(z) é escolhido no intervalo (-\pi,\pi].
Aplicando em z_{2}=\sqrt{3}-i, aqui x=\sqrt{3} e y=-1. Calculo do módulo:
\lvert z_{2}\rvert=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Para o argumento, calculo a razão:
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabemos que \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}. Como x>0 e y<0, o ponto está no quarto quadrante, logo o ângulo principal é negativo e igual a -\dfrac{\pi}{6}. Portanto
\arg(z_{2})=-\frac{\pi}{6}.

Passo 4

(c) Forma polar: com r=\lvert z_{2}\rvert=2 e \theta=\arg(z_{2})=-\dfrac{\pi}{6}, podemos escrever z_{2} usando a fórmula de Euler re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta). Assim:
z_{2}=2e^{-i\pi/6}.
Também poderíamos escrever z_{2}=2\big(\cos(-\tfrac{\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\big), que é equivalente.

Passo 5

(d) Para (z_{1})^{4} podemos usar duas rotas; eu mostro as duas porque é bom saber ambas para a prova.
Método algébrico (rápido): primeiro calculo (1+i)^{2}:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.
Então
(1+i)^{4}=\big((1+i)^{2}\big)^{2}=(2i)^{2}=4i^{2}=4(-1)=-4.
Método polar / De Moivre: escrevo z_{1} em polar. O módulo de 1+i é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} e o argumento é \pi/4. Pela fórmula de De Moivre,
(1+i)^{4}=(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4})^{4}=(\sqrt{2})^{4}e^{i\pi}=2^{2}e^{i\pi}=4e^{i\pi}=4(-1)=-4.
Ambos dão o mesmo resultado: -4.

Passo 6

(e) Raízes cúbicas de z_{2}. Teoria prática: se z=r e^{i\theta}, as n raízes w de z (i.e. w^{n}=z) são dadas por
w_{k}=r^{1/n}e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui r=2, \theta=-\dfrac{\pi}{6} e n=3. Logo o módulo das raízes é r^{1/3}=\sqrt[3]{2} e os argumentos são
\theta_{k}=\frac{-\pi/6+2\pi k}{3}=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3},\qquad k=0,1,2.
Portanto as três raízes cúbicas são
w_{k}=\sqrt[3]{2}\,e^{i\left(-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\right)},\qquad k=0,1,2.
A raiz principal normalmente é a que corresponde a k=0 (aquela com o menor argumento em módulo dentro do intervalo principal). Assim a raiz principal em forma polar é
w_{0}=\sqrt[3]{2}\,e^{-i\pi/18}.

Resposta

(a) z_{1}z_{2}=(\sqrt{3}+1)+i(\sqrt{3}-1).\n
(b) \lvert z_{2}\rvert=2,\; \arg(z_{2})=-\dfrac{\pi}{6}.\n
(c) z_{2}=2e^{-i\pi/6}.\n
(d) (z_{1})^{4}=-4.\n
(e) w_{k}=\sqrt[3]{2}\,e^{i\left(-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\right)},\;k=0,1,2. Principal: w_{0}=\sqrt[3]{2}\,e^{-i\pi/18}.

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