(2,5 pt.) Considere os números complexos
e
.
(a)
.
na forma algébrica.
(b)
.
e o argumento principal
de
.
(c)
.
na forma polar
.
(d)
pt.) Calcule
.
(e)
pt.) Calcule as raízes cúbicas de
, e expresse a raiz principal na forma polar.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede:
- (a) calcular o produto
na forma algébrica; - (b) determinar o módulo
e o argumento principal de ; - (c) escrever
na forma polar ; - (d) calcular
; - (e) calcular as raízes cúbicas de
, isto é , e expressar a raiz principal na forma polar.
Dados relevantes:
(parte real
, parte imaginária
);
(parte real
, parte imaginária
).
Passo 2
(a) Vamos multiplicar
por
usando a distributiva (produto de binômios) e lembrar que
. Escrevo a multiplicação e simplifico termo a termo:
Agora distribuo:
Agrupando termos reais e imaginários e usando
:
Portanto:
Isto nos dá o produto na forma algébrica (parte real e parte imaginária separadas).
Passo 3
(b) Para calcular o módulo e o argumento de
é preciso lembrar:
- O módulo de um complexo
é . - O argumento (principal) é o ângulo
tal que , ajustando o quadrante para o sinal de e . O argumento principal é escolhido no intervalo .
Aplicando em
, aqui
e
. Calculo do módulo:
Para o argumento, calculo a razão:
Sabemos que
. Como
e
, o ponto está no quarto quadrante, logo o ângulo principal é negativo e igual a
. Portanto
Passo 4
(c) Forma polar: com
e
, podemos escrever
usando a fórmula de Euler
. Assim:
Também poderíamos escrever
, que é equivalente.
Passo 5
(d) Para
podemos usar duas rotas; eu mostro as duas porque é bom saber ambas para a prova.
Método algébrico (rápido): primeiro calculo
:
Então
Método polar / De Moivre: escrevo
em polar. O módulo de
é
e o argumento é
. Pela fórmula de De Moivre,
Ambos dão o mesmo resultado:
.
Passo 6
(e) Raízes cúbicas de
. Teoria prática: se
, as
raízes
de
(i.e.
) são dadas por
Aqui
,
e
. Logo o módulo das raízes é
e os argumentos são
Portanto as três raízes cúbicas são
A raiz principal normalmente é a que corresponde a
(aquela com o menor argumento em módulo dentro do intervalo principal). Assim a raiz principal em forma polar é
Resposta
(a)
.\n
(b) \n
(c) \n
(d) \n
(e) Principal:
(b)
(c)
(d)
(e)