Construir o gráfico de g(x, y)=4-x^{2}-y^{2} e as curvas de nível g=0, g=1 e g=3 no domínio de g no plano.

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função g(x,y)=4-x^{2}-y^{2} e também desenhar as curvas de nível correspondentes a g=0, g=1 e g=3 no domínio de g no plano.
Informações dadas:
  • A função é g(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.
  • Precisamos do gráfico (superfície em \mathbb{R}^{3}) e das curvas de nível para os valores 0, 1 e 3.
  • O enunciado fala em “domínio de g no plano”, isto é, o conjunto de pontos (x,y) em que a função está definida (informação que vamos usar).

Passo 2

Qual é o domínio de g e qual é a imagem (faixa de valores) possível?
A função g é polinomial em x e y, então está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo o domínio é o plano inteiro:
\text{dom}(g)=\mathbb{R}^{2}.
Para a imagem, note que x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y), então g(x,y)=4-(x^{2}+y^{2})\le 4. Podemos aproximar x^{2}+y^{2} arbitrariamente grande, fazendo g ir a -\infty. Portanto a imagem (range) é
\text{Im}(g)=(-\infty,\,4].
Observação útil: curvas de nível g=c só existem (não vazias) quando c\le 4.

Passo 3

Reescrever a função em coordenadas polares (ajuda a entender simetria).
Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então x^{2}+y^{2}=r^{2}. Substituindo em g obtemos
g(r,\theta)=4-r^{2},
ou seja, g depende apenas de r (distância ao origem). Consequência direta: a superfície é de revolução em torno do eixo z e as curvas de nível são círculos concêntricos no plano xy.

Passo 4

Descrever o gráfico (superfície) em \mathbb{R}^{3} e como desenhá-lo na prova.
A superfície é dada por z=4-x^{2}-y^{2}. Características importantes que ajudam no desenho:
  • É um paraboloide circular invertido (abre para baixo), porque os termos em x^{2} e y^{2} têm sinal negativo.
  • Vértice no ponto (0,0,4), pois em (0,0) obtemos z=4, e este é o valor máximo da função.
  • À medida que r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} cresce, z diminui segundo z=4-r^{2}. Se fixarmos uma direção (por exemplo y=0) a seção vertical é a parábola z=4-x^{2}. Assim, para desenhar: marque o ponto (0,0,4), e desenhe “camadas” concêntricas que descem formando uma cúpula invertida. Em provas, desenhe o contorno visto de cima como círculos concêntricos e, em perspectiva, mostre a curvatura para baixo.

Passo 5

Generalidade sobre curvas de nível: como obter a equação para g=c.
Definimos a curva de nível por g(x,y)=c. Substituindo:
4-x^{2}-y^{2}=c \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=4-c.
Deste passo temos regra prática: a curva de nível g=c é, quando 4-c>0, o círculo centrado na origem com raio \sqrt{4-c}. Se 4-c=0 então é o ponto (0,0). Se 4-c<0 então não existe curva real (conjunto vazio).

Passo 6

Aplicar a fórmula das curvas de nível para os valores pedidos e interpretar geometricamente (faça isso na prova como eu faria com você ao lado).
  • Para g=0: coloque c=0 em x^{2}+y^{2}=4-c. Obtemos
x^{2}+y^{2}=4,
que é o círculo centrado em (0,0) com raio \sqrt{4}=2. Desenhe-o no plano xy como o círculo de raio 2.
  • Para g=1: com c=1,
x^{2}+y^{2}=3,
é o círculo de raio \sqrt{3}.
  • Para g=3: com c=3,
x^{2}+y^{2}=1,
é o círculo de raio 1.
Nota prática para a prova: se desenhar as curvas de nível no plano xy (mapa de contorno), elas aparecem como círculos concêntricos de raios 2, \sqrt{3} e 1. No gráfico 3D, esses círculos correspondem às interseções horizontais da superfície com os planos z=0, z=1 e z=3 respectivamente.

Passo 7

Como relacionar curvas de nível com alturas e fazer um esboço rápido (truques para a prova).
  • Cada curva x^{2}+y^{2}=4-c corresponde ao plano horizontal z=c cortando a superfície. Assim, para c maior, o raio é menor (porque 4-c diminui): curvas mais altas são círculos menores próximos ao vértice.
  • Para c=4 teríamos x^{2}+y^{2}=0, o ponto (0,0) (vértice). Para c>4 não existem interseções reais.
  • Para desenhar em 3D sem régua: faça uma vista superior (contorno) com círculos concêntricos e marque as alturas z=3,1,0 correspondentes; depois trace em perspectiva a forma de cúpula invertida passando por esses contornos.

Resposta

O gráfico é o paraboloide circular invertido z=4-x^{2}-y^{2} com vértice em (0,0,4) e imagem (-\infty,4].
g=0:\; \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=4\} (círculo de raio 2).
g=1:\; \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=3\} (círculo de raio \sqrt{3}).
g=3:\; \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\} (círculo de raio 1).

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