Construir o gráfico de
e as curvas de nível
e
no domínio de
no plano.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
e também desenhar as curvas de nível correspondentes a
,
e
no domínio de
no plano.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos do gráfico (superfície em
) e das curvas de nível para os valores , e . - O enunciado fala em “domínio de
no plano”, isto é, o conjunto de pontos em que a função está definida (informação que vamos usar).
Passo 2
Qual é o domínio de
e qual é a imagem (faixa de valores) possível?
A função é polinomial em
e
, então está definida para todos os pares
. Logo o domínio é o plano inteiro:
A função
Para a imagem, note que
para todo
, então
. Podemos aproximar
arbitrariamente grande, fazendo
ir a
. Portanto a imagem (range) é
Observação útil: curvas de nível
só existem (não vazias) quando
.
Passo 3
Reescrever a função em coordenadas polares (ajuda a entender simetria).
Em coordenadas polares usamos e
. Então
. Substituindo em
obtemos
Em coordenadas polares usamos
ou seja,
depende apenas de
(distância ao origem). Consequência direta: a superfície é de revolução em torno do eixo
e as curvas de nível são círculos concêntricos no plano
.
Passo 4
Descrever o gráfico (superfície) em
e como desenhá-lo na prova.
A superfície é dada por . Características importantes que ajudam no desenho:
A superfície é dada por
- É um paraboloide circular invertido (abre para baixo), porque os termos em
e têm sinal negativo. - Vértice no ponto
, pois em obtemos , e este é o valor máximo da função. - À medida que
cresce, diminui segundo . Se fixarmos uma direção (por exemplo ) a seção vertical é a parábola . Assim, para desenhar: marque o ponto , e desenhe “camadas” concêntricas que descem formando uma cúpula invertida. Em provas, desenhe o contorno visto de cima como círculos concêntricos e, em perspectiva, mostre a curvatura para baixo.
Passo 5
Generalidade sobre curvas de nível: como obter a equação para
.
Definimos a curva de nível por . Substituindo:
Definimos a curva de nível por
Deste passo temos regra prática: a curva de nível
é, quando
, o círculo centrado na origem com raio
. Se
então é o ponto
. Se
então não existe curva real (conjunto vazio).
Passo 6
Aplicar a fórmula das curvas de nível para os valores pedidos e interpretar geometricamente (faça isso na prova como eu faria com você ao lado).
- Para
: coloque em . Obtemos
que é o círculo centrado em
com raio
. Desenhe-o no plano
como o círculo de raio
.
- Para
: com ,
é o círculo de raio
.
- Para
: com ,
é o círculo de raio
.
Nota prática para a prova: se desenhar as curvas de nível no plano
(mapa de contorno), elas aparecem como círculos concêntricos de raios
,
e
. No gráfico 3D, esses círculos correspondem às interseções horizontais da superfície com os planos
,
e
respectivamente.
Passo 7
Como relacionar curvas de nível com alturas e fazer um esboço rápido (truques para a prova).
- Cada curva
corresponde ao plano horizontal cortando a superfície. Assim, para maior, o raio é menor (porque diminui): curvas mais altas são círculos menores próximos ao vértice. - Para
teríamos , o ponto (vértice). Para não existem interseções reais. - Para desenhar em 3D sem régua: faça uma vista superior (contorno) com círculos concêntricos e marque as alturas
correspondentes; depois trace em perspectiva a forma de cúpula invertida passando por esses contornos.
Resposta
O gráfico é o paraboloide circular invertido
com vértice em
e imagem
.
(círculo de raio
).
(círculo de raio
).
(círculo de raio
).