Representar no espaço euclidiano os conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede que a gente o represente no espaço euclidiano. Informações relevantes fornecidas:
- A condição é uma desigualdade envolvendo
, e : . - As variáveis
podem assumir quaisquer valores reais que satisfaçam essa desigualdade. - Não há outras restrições (como intervalos ou igualdade estrita).
O objetivo é descrever geometricamente esse conjunto e dar formas úteis para representá‑lo/visualizá‑lo.
Passo 2
Vamos reorganizar a desigualdade para ficar mais clara. Subtrair
de ambos os lados dá
Isto nos diz, em palavras simples: o conjunto é formado por todos os pontos do espaço cujas coordenadas
são maiores ou iguais à soma dos quadrados de
e
. Note um fato imediato: como
sempre, necessariamente
em todo ponto do conjunto. Ou seja, não há pontos com
.
Passo 3
Para entender melhor a forma geométrica, observe a igualdade de contorno
Esse é o conjunto que separa os pontos que satisfazem a desigualdade dos que não satisfazem. Em termos visuais, esse contorno é uma superfície do tipo “paraboloide circular” com vértice na origem e que se abre no sentido positivo do eixo
. Essa superfície é o lugar geométrico dos pontos que têm exatamente
(ou seja, estão na “casca” do sólido).
Passo 4
Uma forma bem prática de visualizar o sólido é olhar para fatias horizontais (planos
constante). Fixe
. A condição para os pontos nessa fatia é
- Se
então não existe com , logo nenhuma fatia para . - Se
então implica , ou seja, a fatia em é o ponto . - Se
então a fatia é o disco fechado de centro e raio :
Portanto o conjunto é a união de todos esses discos para
:
Passo 5
Outra representação muito útil usa coordenadas cilíndricas. Defina
e
como habitualmente, com
,
. Então
e a desigualdade vira
Em coordenadas cilíndricas o conjunto é
Isso mostra de forma clara a simetria de revolução em torno do eixo
: para cada
e
fixos,
pode variar desde
até
.
Passo 6
Uma parametrização conveniente da superfície de contorno
é, em termos de
e
,
O sólido pedido é então todos os pontos que ficam sobre essa superfície ou acima dela (no sentido do eixo
). Em termos de propriedades importantes:
- O conjunto contém a superfície
(porque a desigualdade é com ). - É fechado (contém suas fronteiras) e não é limitado para cima (é ilimitado em
). - Tem simetria circular em torno do eixo
e vértice em .
Passo 7
Se quiser desenhar uma seção vertical para ajudar: pegue o plano
. A interseção do conjunto com esse plano é
ou seja, a região no plano
acima da parábola
. Fazendo isso para todos os ângulos
obtém‑se o paraboloide de revolução já descrito.