Representar no espaço euclidiano os conjuntos:
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2} \leq z\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \; ;\; x^{2}+y^{2}\le z\},
e pede que a gente o represente no espaço euclidiano. Informações relevantes fornecidas:
  • A condição é uma desigualdade envolvendo x, y e z: x^{2}+y^{2}\le z.
  • As variáveis x,y,z podem assumir quaisquer valores reais que satisfaçam essa desigualdade.
  • Não há outras restrições (como intervalos ou igualdade estrita).
    O objetivo é descrever geometricamente esse conjunto e dar formas úteis para representá‑lo/visualizá‑lo.

Passo 2

Vamos reorganizar a desigualdade para ficar mais clara. Subtrair x^{2}+y^{2} de ambos os lados dá
z \ge x^{2}+y^{2}.
Isto nos diz, em palavras simples: o conjunto é formado por todos os pontos do espaço cujas coordenadas z são maiores ou iguais à soma dos quadrados de x e y. Note um fato imediato: como x^{2}+y^{2}\ge 0 sempre, necessariamente z\ge 0 em todo ponto do conjunto. Ou seja, não há pontos com z<0.

Passo 3

Para entender melhor a forma geométrica, observe a igualdade de contorno
z = x^{2}+y^{2}.
Esse é o conjunto que separa os pontos que satisfazem a desigualdade dos que não satisfazem. Em termos visuais, esse contorno é uma superfície do tipo “paraboloide circular” com vértice na origem e que se abre no sentido positivo do eixo z. Essa superfície é o lugar geométrico dos pontos que têm exatamente z=x^{2}+y^{2} (ou seja, estão na “casca” do sólido).

Passo 4

Uma forma bem prática de visualizar o sólido é olhar para fatias horizontais (planos z= constante). Fixe z=c. A condição para os pontos nessa fatia é
x^{2}+y^{2}\le c.
  • Se c<0 então não existe (x,y) com x^{2}+y^{2}\le c, logo nenhuma fatia para c<0.
  • Se c=0 então x^{2}+y^{2}\le 0 implica x=0,y=0, ou seja, a fatia em z=0 é o ponto (0,0,0).
  • Se c>0 então a fatia é o disco fechado de centro (0,0,c) e raio \sqrt{c}:
\{(x,y,c)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+y^{2}\le c\}.
Portanto o conjunto é a união de todos esses discos para c\ge 0:
\bigcup_{c\ge 0}\{(x,y,c): x^{2}+y^{2}\le c\}.

Passo 5

Outra representação muito útil usa coordenadas cilíndricas. Defina r\ge 0 e \theta como habitualmente, com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a desigualdade vira
r^{2}\le z.
Em coordenadas cilíndricas o conjunto é
\{(r,\theta,z): r\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi),\\ z\ge r^{2}\}.
Isso mostra de forma clara a simetria de revolução em torno do eixo z: para cada r e \theta fixos, z pode variar desde r^{2} até +\infty.

Passo 6

Uma parametrização conveniente da superfície de contorno z=x^{2}+y^{2} é, em termos de r e \theta,
(x,y,z) = (r\cos\theta,\\ r\sin\theta,\\ r^{2}),\qquad r\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi).
O sólido pedido é então todos os pontos que ficam sobre essa superfície ou acima dela (no sentido do eixo z). Em termos de propriedades importantes:
  • O conjunto contém a superfície z=x^{2}+y^{2} (porque a desigualdade é com \le).
  • É fechado (contém suas fronteiras) e não é limitado para cima (é ilimitado em z).
  • Tem simetria circular em torno do eixo z e vértice em (0,0,0).

Passo 7

Se quiser desenhar uma seção vertical para ajudar: pegue o plano y=0. A interseção do conjunto com esse plano é
\{(x,0,z): z\ge x^{2}\},
ou seja, a região no plano xz acima da parábola z=x^{2}. Fazendo isso para todos os ângulos \theta obtém‑se o paraboloide de revolução já descrito.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z\ge x^{2}+y^{2}\}

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