Considere os números complexos \mathrm{z}_{1}=3+4 \mathrm{i} e \mathrm{z}_{2}=1-2 \mathrm{i}. A parte imaginária do produto de \mathrm{z}_{1} e \mathrm{z}_{2} é
(A) 8
(B) -8
(C) 2
(D) -2

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • \mathrm{z}_{1}=3+4\mathrm{i}.
  • \mathrm{z}_{2}=1-2\mathrm{i}.
O que o problema pede:
  • Determinar a parte imaginária do produto \mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2} e escolher a alternativa correta entre:
    (A) 8
    (B) -8
    (C) 2
    (D) -2.

Passo 2

Relembrando a regra básica para multiplicar números complexos e por que funciona:
  • Se \mathrm{z}_{1}=a+b\mathrm{i} e \mathrm{z}_{2}=c+d\mathrm{i}, usa-se a propriedade distributiva (como em polinômios): \mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2}=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i}).
  • Ao expandir, aparece um termo com \mathrm{i}^2. Lembre que \mathrm{i}^2=-1. Isso transforma termos que envolvem \mathrm{i}^2 em números reais.
  • Fazendo a expansão e usando \mathrm{i}^2=-1 obtemos a fórmula padrão: \mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i},onde:
    • ac-bd é a parte real do produto,
    • ad+bc é a parte imaginária do produto.
      Aqui a,b,c,d representam as partes reais e imaginárias de \mathrm{z}_{1} e \mathrm{z}_{2}: \mathrm{z}_{1}=a+b\mathrm{i}, \mathrm{z}_{2}=c+d\mathrm{i}.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: identifique a,b,c,d para os números fornecidos:
  • Para \mathrm{z}_{1}=3+4\mathrm{i}: a=3, b=4.
  • Para \mathrm{z}_{2}=1-2\mathrm{i}: c=1, d=-2.
Multiplicando diretamente (distributiva) e simplificando passo a passo:
\begin{aligned} \mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2} &= (3+4\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})\\\ &= 3\cdot1 + 3\cdot(-2\mathrm{i}) + 4\mathrm{i}\cdot1 + 4\mathrm{i}\cdot(-2\mathrm{i})\\\ &= 3 -6\mathrm{i} +4\mathrm{i} -8\mathrm{i}^2. \end{aligned}
Agora usar \mathrm{i}^2=-1:
-8\mathrm{i}^2 = -8(-1)=8.
Somando os termos reais e os termos com \mathrm{i}:
\mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2}= (3+8) + (-6\mathrm{i}+4\mathrm{i}) = 11 -2\mathrm{i}.

Passo 4

Extraindo a parte imaginária:
  • Da expressão \mathrm{z}_{1}\mathrm{z}_{2}=11-2\mathrm{i}, a parte imaginária é o coeficiente que multiplica \mathrm{i}, ou seja -2.
Verificação alternativa usando a fórmula ad+bc:
ad+bc = 3\cdot(-2) + 4\cdot1 = -6 + 4 = -2,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

(D) -2

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