Beatriz e Fernanda estão analisando todos os conjuntos numéricos que o número 51/17 pertence. Esse(s) conjunto(s) é (são) dos números
(A) naturais.
(B) irracionais.
(C) naturais e inteiros.
(D) naturais, inteiros, racionais e reais.

Passo 1

O enunciado nos dá o número \dfrac{51}{17} e pede que escolhamos, entre as alternativas (A) a (D), a qual(is) conjunto(s) numéricos esse número pertence. As alternativas são:
(A) naturais.
(B) irracionais.
(C) naturais e inteiros.
(D) naturais, inteiros, racionais e reais.
Informação fornecida: o número em análise é \dfrac{51}{17}.
Pergunta: qual alternativa descreve corretamente todos os conjuntos numéricos aos quais \dfrac{51}{17} pertence?

Passo 2

Vamos revisar, de forma clara e simples, o que cada conjunto significa (com exemplos rápidos):
  • Naturais: \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Números positivos usados para contar. (Algumas convenções incluem o 0, mas isso não muda o caso do número aqui.)
  • Inteiros: \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}. Inclui todos os naturais e seus negativos e o zero.
  • Racionais: \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\\ b\neq0\right\}. São números que podem ser escritos como fração de dois inteiros.
  • Irracionais: \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. Números reais que NÃO podem ser escritos como fração de inteiros (por exemplo, \sqrt{2}, \pi).
  • Reais: \mathbb{R}. União dos racionais e irracionais; todos os números que podem ser representados em uma reta numérica.
Essencial: todo natural é inteiro, todo inteiro é racional (pois n=\dfrac{n}{1}), e todo racional é real. Em símbolos: \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

Passo 3

Agora simplificamos o número dado. Observamos que 17 cabe exatamente 3 vezes em 51, porque
17\cdot3=51.
Portanto,
\frac{51}{17}=3.

Passo 4

Com o resultado \dfrac{51}{17}=3, identifique a natureza de 3:
  • 3 é um número natural ( 3\in\mathbb{N}).
  • Logo, por inclusão, 3 também é inteiro ( 3\in\mathbb{Z}).
  • Como 3=\dfrac{3}{1}, é racional ( 3\in\mathbb{Q}).
  • E todo racional é real, então 3\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação contra a alternativa (B) (irracionais): irracionais são os que NÃO podem ser escritos como fração de inteiros. Como já escrevemos 3=\dfrac{51}{17} (ou 3=\dfrac{3}{1}), ele é racional, portanto não é irracional. Logo (B) está incorreta.

Passo 6

Comparando com as alternativas:
  • (A) “naturais”: verdadeiro, mas incompleto (não menciona que também é inteiro, racional e real).
  • (C) “naturais e inteiros”: verdadeiro, mas ainda incompleto (falta “racionais e reais”).
  • (D) “naturais, inteiros, racionais e reais”: descreve todos os conjuntos aos quais 3 pertence. É a alternativa mais completa e correta.

Passo 7

Conclusão final: \dfrac{51}{17}=3 pertence a \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} e \mathbb{R}. Portanto a alternativa correta é a (D).

Resposta

(D)

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