Considere os números complexos z_{1}=1+5 i, z_{2}=4-7 i e z_{3}=-2 i+7 i^{2}.
Calcule \bar{z}_{1}, \overline{z_{1} z_{3}}, \overline{\left(\frac{z_{2}}{z_{3}}\right)},\left|z_{1}\right|,\left|z_{1} z_{2} z_{3}\right|, \bar{z}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z_{1}=1+5i,\qquad z_{2}=4-7i,\qquad z_{3}=-2i+7i^{2}.
Pede para calcular, na ordem:
\overline{z_{1}},\quad \overline{z_{1}z_{3}},\quad \overline{\left(\frac{z_{2}}{z_{3}}\right)},\quad |z_{1}|,\quad |z_{1}z_{2}z_{3}|,\quad \overline{z_{2}}.

Passo 2

Primeiro simplificar z_{3} substituindo i^{2}=-1. Portanto
z_{3}=-2i+7i^{2}=-2i+7(-1)=-7-2i.
Agora temos explicitamente
z_{1}=1+5i,\qquad z_{2}=4-7i,\qquad z_{3}=-7-2i.

Passo 3

Lembrete prático sobre conjugado: o conjugado de um complexo a+bi é \overline{a+bi}=a-bi. Aplicando diretamente a z_{1} e z_{2}:
\overline{z_{1}}=1-5i, \qquad \overline{z_{2}}=4+7i.
(Isto usa a definição do conjugado: troca o sinal da parte imaginária.)

Passo 4

Agora calcular \overline{z_{1}z_{3}}. Duas maneiras equivalentes: (A) calcular z_{1}z_{3} e depois tomar o conjugado; (B) usar a propriedade \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}. Vou fazer (A) e verificar com (B).
Calcular z_{1}z_{3}:
z_{1}z_{3}=(1+5i)(-7-2i).
Multiplicando termo a termo:
(1)(-7)+(1)(-2i)+(5i)(-7)+(5i)(-2i)=-7-2i-35i-10i^{2}.
Como i^{2}=-1, obtemos
-7-37i-10(-1)=-7-37i+10=3-37i.
Logo
z_{1}z_{3}=3-37i.
Tomando o conjugado:
\overline{z_{1}z_{3}}=3+37i.
Verificação rápida pela propriedade \overline{z_{1}}\;\overline{z_{3}}=(1-5i)(-7+2i)=3+37i, consistente.

Passo 5

Calcular \overline{\left(\dfrac{z_{2}}{z_{3}}\right)}. Usar a propriedade do conjugado sobre quociente:
\overline{\left(\dfrac{z_{2}}{z_{3}}\right)}=\dfrac{\overline{z_{2}}}{\overline{z_{3}}}.
Temos \overline{z_{2}}=4+7i (do Passo 3) e \overline{z_{3}}=-7+2i (conjugado de z_{3}=-7-2i). Então
\overline{\left(\dfrac{z_{2}}{z_{3}}\right)}=\dfrac{4+7i}{-7+2i}.
Para escrever na forma a+bi, racionaliza-se o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador -7-2i:
\frac{4+7i}{-7+2i}\cdot\frac{-7-2i}{-7-2i}=\frac{(4+7i)(-7-2i)}{(-7+2i)(-7-2i)}.
Calcular numerador:
(4+7i)(-7-2i)=4(-7)+4(-2i)+7i(-7)+7i(-2i)=-28-8i-49i-14i^{2}.
Como i^{2}=-1:
-28-57i-14(-1)=-28-57i+14=-14-57i.
Calcular denominador (produto conjugado):
(-7+2i)(-7-2i)=(-7)^{2}+(2)^{2}=49+4=53.
Portanto
\overline{\left(\dfrac{z_{2}}{z_{3}}\right)}=\dfrac{-14-57i}{53}=-\dfrac{14}{53}-\dfrac{57}{53}i.

Passo 6

Agora os módulos. Lembrete: o módulo de a+bi é |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Calcular |z_{1}| para z_{1}=1+5i:
|z_{1}|=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}.

Passo 7

Calcular |z_{1}z_{2}z_{3}|. Propriedade importante: |zw|=|z|\,|w| e por extensão |z_{1}z_{2}z_{3}|=|z_{1}||z_{2}||z_{3}|.
Calcular cada módulo:
|z_{2}|=\sqrt{4^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65},
|z_{3}|=\sqrt{(-7)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}.
Portanto
|z_{1}z_{2}z_{3}|=\sqrt{26}\cdot\sqrt{65}\cdot\sqrt{53}=\sqrt{26\cdot65\cdot53}.
Simplificando o produto dentro da raiz:
26\cdot65\cdot53=89570=13^{2}\cdot530,
logo
|z_{1}z_{2}z_{3}|=13\sqrt{530}.

Resposta

\overline{z_{1}}=1-5i
\overline{z_{1}z_{3}}=3+37i
\overline{\left(\dfrac{z_{2}}{z_{3}}\right)}=-\dfrac{14}{53}-\dfrac{57}{53}i
|z_{1}|=\sqrt{26}
|z_{1}z_{2}z_{3}|=13\sqrt{530}
\overline{z_{2}}=4+7i

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