Calcule o valor de:
\frac{i^{7}-i^{10}}{i^{13}-i^{19}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão \dfrac{i^{7}-i^{10}}{i^{13}-i^{19}}, onde i é a unidade imaginária (isto é, a raiz quadrada de -1).
Informações dadas: os expoentes dos poderes de i são 7, 10, 13 e 19. Precisa-se simplificar essa fração para um número complexo na forma padrão.

Passo 2

Conceito importante sobre potências de i (aulas rápidas e diretas).
Definimos \,i por \,i^2=-1. A partir daí temos:
i^1 = i,\qquad i^2 = -1,\qquad i^3 = i^2\cdot i = -i,\qquad i^4 = i^2\cdot i^2 = (-1)(-1)=1.
Perceba que i^4=1. Isso cria um padrão cíclico: as potências de i repetem a cada 4. Ou seja, para qualquer inteiro n,
i^n = i^{r}\quad\text{onde}\quad r\equiv n\pmod{4}\quad\text{e}\quad r\in\{0,1,2,3\},
com a convenção que i^0=1. Um jeito prático é reduzir o expoente módulo 4 e usar a tabela:
\begin{cases} r=0\Rightarrow i^r=1,\\[4pt] r=1\Rightarrow i^r=i,\\[4pt] r=2\Rightarrow i^r=-1,\\[4pt] r=3\Rightarrow i^r=-i. \end{cases}]

Passo 3

Reduzir cada expoente módulo 4:
7\equiv 3\pmod{4},\qquad 10\equiv 2\pmod{4},\qquad 13\equiv 1\pmod{4},\qquad 19\equiv 3\pmod{4}.
Portanto, usando a tabela do passo anterior:
i^{7}=i^{3}=-i,\qquad i^{10}=i^{2}=-1,\qquad i^{13}=i^{1}=i,\qquad i^{19}=i^{3}=-i.

Passo 4

Calcular numerador e denominador separadamente usando os valores obtidos:
Numerador:
i^{7}-i^{10}=(-i)-(-1)= -i+1=1-i.
Denominador:
i^{13}-i^{19}=i-(-i)=i+i=2i.

Passo 5

Montar a fração simplificada:
\frac{i^{7}-i^{10}}{i^{13}-i^{19}}=\frac{1-i}{2i}.
Agora vamos simplificar essa expressão para a forma a+bi (com a,b reais). Dois caminhos simples; mostro os dois brevemente.
Método A — multiplicar numerador e denominador por i:
\frac{1-i}{2i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i(1-i)}{2i^2}=\frac{i - i^2}{2(-1)}=\frac{i-(-1)}{-2}=\frac{1+i}{-2}= -\frac{1}{2}-\frac{i}{2}.
Método B — dividir termo a termo:
\frac{1-i}{2i}=\frac{1}{2i}-\frac{i}{2i}=\frac{1}{2i}-\frac{1}{2}.
E como \dfrac{1}{i}=-i (porque i\cdot(-i)=-i^2=1), tem-se
\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2},
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\frac{1-i}{2i}=-\frac{i}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{i}{2},
mesmo resultado.

Passo 6

Interpretação final: a expressão resulta no número complexo com parte real -\tfrac{1}{2} e parte imaginária -\tfrac{1}{2}. Está pronto para a prova — procedimento rápido: reduzir expoentes módulo 4, substituir, simplificar a fração e afastar i do denominador (ou dividir termo a termo).

Resposta

-\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{2}

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