Calcule o valor de:
i^{23}+i^{24}+i^{25}+\ldots+i^{262}

Passo 1

Entender claramente o que foi pedido e quais dados temos. O enunciado pede para calcular a soma
S = i^{23}+i^{24}+i^{25}+\ldots+i^{262}.
As informações relevantes são:
  • Os expoentes vão de 23 até 262, inclusive.
  • Queremos a soma de todos esses termos.

Passo 2

Lembrete importante sobre a unidade imaginária i: as potências de i formam um ciclo de período 4. Escrevendo os primeiros valores:
i^1 = i,\qquad i^2 = -1,\qquad i^3 = -i,\qquad i^4 = 1,
e daí vale a identidade de período:
i^{n+4} = i^n\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.
Isso significa que basta olhar o resto da divisão do expoente por 4 para saber o valor de i^n.

Passo 3

Explicar como usar o resto da divisão por 4. Se r é o resto de n ao dividir por 4 (ou seja, r\in\{0,1,2,3\} com n\equiv r\pmod{4}), então
i^n = i^r,
isto é:
\begin{cases} i^n = 1 &\text{se }r=0,\\[4pt] i^n = i &\text{se }r=1,\\[4pt] i^n = -1 &\text{se }r=2,\\[4pt] i^n = -i &\text{se }r=3. \end{cases}]

Passo 4

Calcular quantos termos há na soma. O número de inteiros de 23 a 262 inclusive é
N = 262 - 23 + 1 = 240.

Passo 5

Agrupar os termos em blocos de quatro potências consecutivas. Note que qualquer quatro expoentes consecutivos somam zero, porque, para qualquer r,
i^r + i^{r+1} + i^{r+2} + i^{r+3} = i^r\bigl(1+i+i^2+i^3\bigr).
Mas
1+i+i^2+i^3 = 1+i-1-i = 0,
logo
i^r + i^{r+1} + i^{r+2} + i^{r+3} = 0.
Portanto cada bloco de quatro termos consecutivos contribui com zero para a soma.

Passo 6

Verificar que podemos particionar todos os N=240 termos em blocos de quatro sem resto: como 240 é múltiplo de 4 ( 240=4\cdot60), temos exatamente 60 blocos completos de quatro termos. Assim a soma total é a soma de 60 blocos iguais a zero, isto é
S = 60\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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