Considere os números reais abaixo:
w=3,1415914159 \cdots \quad e \quad z=-1,0233323332 \cdots
Apresente uma fração geratriz para o número \frac{w}{z}.

Passo 1

O enunciado dá dois decimais periódicos
w = 3,\overline{14159}
z = -1,0\overline{2333}
e pede a fração geratriz de \frac{w}{z}. Vamos primeiro transformar w e z em frações, depois dividir e simplificar.

Passo 2

Para w=3,\overline{14159} temos parte não periódica zero e período de comprimento 5. Escrevendo
w = 3 + 0,\overline{14159}
e sabendo que
0,\overline{14159} = \frac{14159}{99999},
segue
w = 3 + \frac{14159}{99999} = \frac{3\cdot 99999 + 14159}{99999} = \frac{314156}{99999}.

Passo 3

Para z = -1,0\overline{2333} há parte não periódica “0” e período de comprimento 4. Assim
z = -\Bigl(1 + 0,\overline{2333}\Bigr) \quad\text{com}\quad 0,\overline{2333} = \frac{2333}{9999}.
Logo
z = -\Bigl(\frac{9999 + 2333}{9999}\Bigr) = -\frac{12332}{9999}.

Passo 4

Agora
\frac{w}{z} = \frac{\frac{314156}{99999}}{-\frac{12332}{9999}} = -\frac{314156}{99999}\,\frac{9999}{12332} = -\frac{314156\cdot 9999}{99999\cdot 12332}.
Cancelando \gcd(9999,99999)=9, obtemos
\frac{w}{z} = -\frac{314156\cdot 1111}{12332\cdot 11111} = -\frac{349027316}{137020852}.
Dividindo numerador e denominador por 2 e verificando que não há mais fatores comuns, resulta
\frac{w}{z} = -\frac{87256829}{34255213}.

Resposta

\frac{w}{z} = -\frac{87256829}{34255213}.

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