Considere um objeto de massa m que pode se mover em duas dimensões com uma energia potencial U(x, y)=\frac{1}{2} k r^{2}, onde r^{2}=x^{2}+y^{2}. Escreva a lagrangiana, usando as coordenadas x e y, e obtenha as equações de movimento de Lagrange. Descreva suas soluções. (Esta é a energia potencial de um íon numa “armadilha de íons”, que pode ser usada para estudar as propriedades de íons atômicos individuais.)

Passo 1

O enunciado dá um objeto de massa m que se move em duas dimensões com energia potencial
U(x,y)=\tfrac{1}{2}k r^{2},\qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}.
As tarefas pedidas são:
  • Escrever a lagrangiana usando as coordenadas x e y.
  • Obter as equações de movimento de Lagrange (ou seja, as equações diferenciais para x(t) e y(t)).
  • Descrever as soluções dessas equações (como são as trajetórias no plano, dependência de condições iniciais, frequência, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa: m (constante).
  • Constante da mola/armadilha: k (constante positiva).
  • Coordenadas generalizadas: x e y.
  • Potencial dependente apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}: U=\tfrac{1}{2}k(x^{2}+y^{2}).

Passo 2

Kinetic energy (energia cinética) para uma partícula em duas dimensões: explique e escreva T.
Explicação rápida: a energia cinética de uma partícula de massa m que se move com componentes de velocidade \dot{x} e \dot{y} é a soma das contribuições em cada direção:
T=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\big).
Aqui \dot{x}=\dfrac{dx}{dt} e \dot{y}=\dfrac{dy}{dt} são as velocidades nas direções x e y. Essa fórmula vem da definição clássica T=\tfrac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2).

Passo 3

Construir a lagrangiana L como L=T-U e escrever explicitamente em x,y.
A lagrangiana é
L=T-U=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\big)-\tfrac{1}{2}k\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 4

Lembrar e escrever a fórmula das equações de Euler–Lagrange para cada coordenada e explicar os termos.
A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada q é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Aqui temos duas coordenadas independentes q=x e q=y. Vou aplicar essa fórmula separadamente a x e a y. Cada termo significa:
  • \partial L/\partial\dot{q}: momento conjugado à velocidade \dot q.
  • d/dt desse momento: taxa de variação temporal do momento conjugado.
  • \partial L/\partial q: derivada de L em relação à coordenada (forças efetivas vêm daí, com sinal negativo).

Passo 5

Aplicar Euler–Lagrange a x: calcular \partial L/\partial\dot{x}, d/dt(\partial L/\partial\dot{x}) e \partial L/\partial x, e montar a equação.
Calcular as derivadas:
\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}, \qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=m\ddot{x},
\frac{\partial L}{\partial x}=-k x.
Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
m\ddot{x}-(-k x)=0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot{x}+k x=0.

Passo 6

Aplicar Euler–Lagrange a y de forma análoga.
Derivações análogas dão
\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}=m\dot{y}, \qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)=m\ddot{y}, \qquad \frac{\partial L}{\partial y}=-k y.
Logo a equação é
m\ddot{y}+k y=0.

Passo 7

Interpretação das equações obtidas: tipo de equação, frequência natural e independência das componentes.
As equações
m\ddot{x}+k x=0,\qquad m\ddot{y}+k y=0
são duas equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem, idênticas entre si. Cada uma é a equação do oscilador harmônico simples. Definindo a frequência angular natural
\omega\equiv\sqrt{\frac{k}{m}},
cada equação pode ser escrita como
\ddot{x}+\omega^{2}x=0,\qquad \ddot{y}+\omega^{2}y=0.
Observação importante: as duas direções x e y estão desacopladas (não há termo cruzado xy no potencial), portanto cada componente oscila independentemente com a mesma frequência \omega. Essa degenerescência é consequência da simetria rotacional do potencial (depende só de r).

Passo 8

Resolver explicitamente as ODEs: forma geral das soluções em cada coordenada e relação com condições iniciais.
A solução geral da equação \ddot{q}+\omega^{2}q=0 é
q(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais q(0) e \dot{q}(0). Aplicando isso a x e y:
x(t)=A_{x}\cos(\omega t-\delta_{x})=C_{1x}\cos(\omega t)+C_{2x}\sin(\omega t),
y(t)=A_{y}\cos(\omega t-\delta_{y})=C_{1y}\cos(\omega t)+C_{2y}\sin(\omega t).
Relação com condições iniciais: tomando x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{x0},
C_{1x}=x_{0},\qquad C_{2x}=\frac{v_{x0}}{\omega},
e amplitude/fase
A_{x}=\sqrt{C_{1x}^{2}+C_{2x}^{2}},\qquad \delta_{x}=\operatorname{atan2}(C_{2x},C_{1x}).
Análogo para y com y_{0} e v_{y0}.
Também existe uma forma vetorial compacta útil: definindo \mathbf{r}=(x,y) e \mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=(\dot{x},\dot{y}), com \mathbf{r}_{0}=\mathbf{r}(0) e \mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}(0),
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}\cos(\omega t)+\frac{\mathbf{v}_{0}}{\omega}\sin(\omega t).
Isso mostra claramente que o movimento é a combinação linear das mesmas funções temporais nas duas direções.

Passo 9

Descrever qualitativamente as trajetórias no plano (x,y) dependendo das condições iniciais (formas geométricas: reta, elipse, círculo).
  • Se os dois osciladores têm a mesma fase e proporcional amplitudes (por exemplo y(t)=\lambda x(t) com \lambda constante), então a partícula se move ao longo de uma reta que passa pela origem (o movimento é oscilatório de vaivém sobre essa reta).
  • Se há diferença de fase entre x e y, a curva descrita é, em geral, uma elipse (essas curvas são casos de Lissajous para frequências iguais).
  • Caso especial: se A_{x}=A_{y}=A e a diferença de fase for \pm \tfrac{\pi}{2}, então
x(t)=A\cos(\omega t),\qquad y(t)=A\sin(\omega t)
ou com sinal trocado, que descrevem um movimento circular uniforme de raio A com velocidade angular \omega. O sentido (horário/anti-horário) depende do sinal da diferença de fase.
  • Em suma: trajetórias são elipses com eixos alinhados a direções determinadas pelas constantes iniciais; reta e círculo são casos particulares.

Passo 10

Energia e conservação: expressão da energia total e sua interpretação.
A energia total E do sistema (como não há dissipação) é constante e dada por
E=T+U=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\big)+\tfrac{1}{2}k\big(x^{2}+y^{2}\big).
Pode-se separar a energia nas componentes x e y; cada uma tem energia conservada parcial, mas é mais claro ver que a soma é constante. Em termos vetoriais, usando \mathbf{r} e \mathbf{v},
E=\tfrac{1}{2}m\|\mathbf{v}\|^{2}+\tfrac{1}{2}k\|\mathbf{r}\|^{2}.

Passo 11

Breve comentário físico e conexão com a armadilha de íons (intuição).
O potencial isotrópico \tfrac{1}{2}k r^{2} é equivalente a um “poço harmônico” circular — força restauradora linear para a origem com magnitude -k\mathbf{r}. Na armadilha de íons idealizada, isso corresponde a forçar o íon a oscilar ao redor do ponto de equilíbrio com mesma frequência em todas as direções no plano. A degenerescência (mesma \omega em x e y) significa que qualquer direção fixa é uma “modo normal” válido; só quando perturbações quebram a simetria (por exemplo k_x\neq k_y) aparecem frequências diferentes.

Resposta

L=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\big)-\tfrac{1}{2}k\big(x^{2}+y^{2}\big)
m\ddot{x}+k x=0,\qquad m\ddot{y}+k y=0
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\qquad x(t)=C_{1x}\cos(\omega t)+C_{2x}\sin(\omega t),\qquad y(t)=C_{1y}\cos(\omega t)+C_{2y}\sin(\omega t)
(sol. equivalentes x(t)=A_x\cos(\omega t-\delta_x), y(t)=A_y\cos(\omega t-\delta_y)).\n
Trajetórias: retas (mesma fase/proporcional amplitudes), elipses (diferença de fase arbitrária), círculo para A_x=A_y e diferença de fase \pm\tfrac{\pi}{2}. Energia conservada: E=\tfrac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})+\tfrac{1}{2}k(x^{2}+y^{2}).

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