Considere um objeto de massa
que pode se mover em duas dimensões com uma energia potencial
, onde
. Escreva a lagrangiana, usando as coordenadas
e
, e obtenha as equações de movimento de Lagrange. Descreva suas soluções. (Esta é a energia potencial de um íon numa “armadilha de íons”, que pode ser usada para estudar as propriedades de íons atômicos individuais.)
Passo 1
O enunciado dá um objeto de massa
que se move em duas dimensões com energia potencial
As tarefas pedidas são:
- Escrever a lagrangiana usando as coordenadas
e . - Obter as equações de movimento de Lagrange (ou seja, as equações diferenciais para
e ). - Descrever as soluções dessas equações (como são as trajetórias no plano, dependência de condições iniciais, frequência, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
- Massa:
(constante). - Constante da mola/armadilha:
(constante positiva). - Coordenadas generalizadas:
e . - Potencial dependente apenas de
: .
Passo 2
Kinetic energy (energia cinética) para uma partícula em duas dimensões: explique e escreva
.
Explicação rápida: a energia cinética de uma partícula de massa
que se move com componentes de velocidade
e
é a soma das contribuições em cada direção:
Aqui
e
são as velocidades nas direções
e
. Essa fórmula vem da definição clássica
.
Passo 3
Construir a lagrangiana
como
e escrever explicitamente em
.
A lagrangiana é
Passo 4
Lembrar e escrever a fórmula das equações de Euler–Lagrange para cada coordenada e explicar os termos.
A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada
é
Aqui temos duas coordenadas independentes
e
. Vou aplicar essa fórmula separadamente a
e a
. Cada termo significa:
-
: momento conjugado à velocidade . -
desse momento: taxa de variação temporal do momento conjugado. -
: derivada de em relação à coordenada (forças efetivas vêm daí, com sinal negativo).
Passo 5
Aplicar Euler–Lagrange a
: calcular
,
e
, e montar a equação.
Calcular as derivadas:
Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
Passo 6
Aplicar Euler–Lagrange a
de forma análoga.
Derivações análogas dão
Logo a equação é
Passo 7
Interpretação das equações obtidas: tipo de equação, frequência natural e independência das componentes.
As equações
são duas equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem, idênticas entre si. Cada uma é a equação do oscilador harmônico simples. Definindo a frequência angular natural
cada equação pode ser escrita como
Observação importante: as duas direções
e
estão desacopladas (não há termo cruzado
no potencial), portanto cada componente oscila independentemente com a mesma frequência
. Essa degenerescência é consequência da simetria rotacional do potencial (depende só de
).
Passo 8
Resolver explicitamente as ODEs: forma geral das soluções em cada coordenada e relação com condições iniciais.
A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
. Aplicando isso a
e
:
Relação com condições iniciais: tomando
e
,
e amplitude/fase
Análogo para
com
e
.
Também existe uma forma vetorial compacta útil: definindo
e
, com
e
,
Isso mostra claramente que o movimento é a combinação linear das mesmas funções temporais nas duas direções.
Passo 9
Descrever qualitativamente as trajetórias no plano
dependendo das condições iniciais (formas geométricas: reta, elipse, círculo).
- Se os dois osciladores têm a mesma fase e proporcional amplitudes (por exemplo
com constante), então a partícula se move ao longo de uma reta que passa pela origem (o movimento é oscilatório de vaivém sobre essa reta). - Se há diferença de fase entre
e , a curva descrita é, em geral, uma elipse (essas curvas são casos de Lissajous para frequências iguais). - Caso especial: se
e a diferença de fase for , então
ou com sinal trocado, que descrevem um movimento circular uniforme de raio
com velocidade angular
. O sentido (horário/anti-horário) depende do sinal da diferença de fase.
- Em suma: trajetórias são elipses com eixos alinhados a direções determinadas pelas constantes iniciais; reta e círculo são casos particulares.
Passo 10
Energia e conservação: expressão da energia total e sua interpretação.
A energia total
do sistema (como não há dissipação) é constante e dada por
Pode-se separar a energia nas componentes
e
; cada uma tem energia conservada parcial, mas é mais claro ver que a soma é constante. Em termos vetoriais, usando
e
,
Passo 11
Breve comentário físico e conexão com a armadilha de íons (intuição).
O potencial isotrópico
é equivalente a um “poço harmônico” circular — força restauradora linear para a origem com magnitude
. Na armadilha de íons idealizada, isso corresponde a forçar o íon a oscilar ao redor do ponto de equilíbrio com mesma frequência em todas as direções no plano. A degenerescência (mesma
em
e
) significa que qualquer direção fixa é uma “modo normal” válido; só quando perturbações quebram a simetria (por exemplo
) aparecem frequências diferentes.
Resposta
(sol. equivalentes
,
).\n
Trajetórias: retas (mesma fase/proporcional amplitudes), elipses (diferença de fase arbitrária), círculo para e diferença de fase
. Energia conservada:
.
Trajetórias: retas (mesma fase/proporcional amplitudes), elipses (diferença de fase arbitrária), círculo para