Considere o problema bem conhecido de um carrinho de massa m que se move sem atrito sobre o eixo x ligado à extremidade de uma mola de constante elástica k cuja outra extremidade está presa. Se desprezarmos a massa da mola, como sempre fazemos, sabemos que o carrinho vai executar um movimento harmônico simples (MHS) com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} .
Usando a formulação lagrangiana podemos levar em conta o efeito da massa M da mola da seguinte forma:
a) Suponha que a massa da mola esteja uniformemente distribuída e que ela se distenda também uniformemente e prove que a energia cinética da mola é \frac{1}{6} M \dot{x}^{2}, onde x é a distensão da mola a partir de sua posição de equilíbrio. Escreva a Lagrangeana do sistema. (A energia potencial continua sendo \frac{1}{2} k x^{2} ).
b) Escreva as equações de Lagrange e mostre que o carrinho executa MHS com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m+M / 3}}
  • isto é, o efeito da massa M da mola é simplesmente somar M / 3 à massa do carrinho.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Mostrar que, supondo massa da mola uniformemente distribuída e deformação também uniforme, a energia cinética da mola é \dfrac{1}{6}M\dot{x}^{2}, onde \,x(t)\, é a distensão total da mola em relação à posição de equilíbrio, e escrever a lagrangeana do sistema (a energia potencial continua sendo \tfrac{1}{2}kx^{2}).
  • (b) Usar a lagrangeana para obter as equações de movimento e mostrar que o carrinho faz MHS com frequência angular \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m+M/3}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Massa do carrinho: m.
  • Massa da mola (uniforme): M.
  • Constante elástica: k.
  • Deslocamento/alongamento do extremo livre (o carrinho) em relação ao equilíbrio: x(t).
  • Suposição adicional do enunciado: a mola se estende de forma uniforme ao longo do seu comprimento quando o carrinho se desloca (ou seja, o deslocamento de cada ponto ao longo da mola é proporcional à sua posição ao longo da mola).

Passo 2

Modelagem e escolha de coordenadas (explicação didática).
  • Seja L o comprimento (em repouso) da mola. Não precisamos do valor numérico de L no resultado final, mas é útil para a integração.
  • Introduzimos uma coordenada espacial ao longo da mola: s mede a posição do elemento da mola contado a partir da extremidade fixa, com 0\le s\le L.
  • Como a deformação é uniforme, o deslocamento em s é proporcional a s. Especificamente, quando a extremidade móvel do spring desloca uma quantidade x(t), o deslocamento do ponto em s é
u(s,t)=\frac{s}{L}\,x(t).
  • A velocidade desse ponto é a derivada temporal:
\dot{u}(s,t)=\frac{s}{L}\,\dot{x}(t).
  • A massa por unidade de comprimento (densidade linear de massa) é
\mu=\frac{M}{L}.
  • Agora vamos calcular a energia cinética total da mola somando (integrando) as contribuições de todos os elementos.

Passo 3

Cálculo explícito da energia cinética da mola, com os passos da integração bem explicados.
  • Energia cinética de um elemento de massa dm que se move com velocidade v é \tfrac{1}{2}\,dm\;v^{2}.
  • Para um elemento de comprimento ds temos dm=\mu\,ds=\dfrac{M}{L}\,ds.
  • A velocidade do elemento em s é \dot{u}(s,t)=\dfrac{s}{L}\dot{x}.
  • Então a energia cinética da mola é
T_{\text{mola}}=\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\,dm\;\dot{u}^{2} =\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\left(\frac{M}{L}\,ds\right)\left(\frac{s}{L}\dot{x}\right)^{2}.
  • Tirando fatores independentes da integral:
T_{\text{mola}}=\frac{1}{2}\,\frac{M}{L}\,\dot{x}^{2}\,\frac{1}{L^{2}}\int_{0}^{L}s^{2}\,ds.
  • Calcule a integral \int_{0}^{L}s^{2}\,ds. É uma integral elemental:
\int_{0}^{L}s^{2}\,ds=\left[\frac{s^{3}}{3}\right]_{0}^{L}=\frac{L^{3}}{3}.
  • Substituindo:
T_{\text{mola}}=\frac{1}{2}\,\frac{M}{L}\,\dot{x}^{2}\,\frac{1}{L^{2}}\cdot\frac{L^{3}}{3} =\frac{1}{2}\,\frac{M}{L}\,\dot{x}^{2}\,\frac{L}{3} =\frac{1}{2}\left(\frac{M}{3}\right)\dot{x}^{2}.
  • Finalmente, escrevendo de forma mais simples:
T_{\text{mola}}=\frac{1}{6}\,M\,\dot{x}^{2}.
Comentário físico curto e intuitivo: cada pedaço da mola se move com uma velocidade que varia linearmente de 0 (na extremidade fixa) até \dot{x} (na extremidade móvel), por isso a média do quadrado da velocidade ao longo da mola dá o fator 1/3 e resulta no M/3 efetivo.

Passo 4

Energia cinética total, energia potencial e escrita da lagrangeana (explicação de cada termo).
  • Energia cinética do carrinho: T_{\text{car}}=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}.
  • Energia cinética total do sistema (carrinho + mola):
T=T_{\text{car}}+T_{\text{mola}}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{6}M\dot{x}^{2} =\frac{1}{2}\left(m+\frac{M}{3}\right)\dot{x}^{2}.
  • Energia potencial da mola dada no enunciado: V=\dfrac{1}{2}k x^{2}.
  • A lagrangeana é \mathcal{L}=T-V. Logo:
\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(m+\frac{M}{3}\right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k x^{2}.
Explicação: a lagrangeana reúne energia cinética (que quantifica a inércia) e energia potencial (que fornece a força restauradora). Observe que a presença da massa da mola aparece apenas adicionando \dfrac{M}{3} à massa efetiva do sistema.

Passo 5

Equações de Lagrange e obtenção da frequência (passo a passo no cálculo das derivadas).
  • Para uma coordenada generalizada x a equação de Euler–Lagrange é
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0.
  • Calcule as derivadas:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=\left(m+\frac{M}{3}\right)\dot{x},
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}\right)=\left(m+\frac{M}{3}\right)\ddot{x},
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=-k x.
  • Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
\left(m+\frac{M}{3}\right)\ddot{x}-(-k x)=0 \quad\Rightarrow\quad \left(m+\frac{M}{3}\right)\ddot{x}+k x=0.
  • Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com coeficientes constantes. A forma padrão é \ddot{x}+\omega^{2}x=0, então identificamos
\omega^{2}=\frac{k}{m+\dfrac{M}{3}},
ou seja
\omega=\sqrt{\frac{k}{m+M/3}}.
Interpretação final: a massa da mola entra como uma contribuição inercial efetiva igual a M/3. Portanto o sistema oscila como se o carrinho tivesse massa m+M/3.

Resposta

(a) T_{\text{mola}}=\dfrac{1}{6}M\dot{x}^{2}. A lagrangeana é \displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}\!\left(m+\frac{M}{3}\right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k x^{2}.
(b) \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{k}{\,m+M/3\,}}.

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