Considere o problema bem conhecido de um carrinho de massa
que se move sem atrito sobre o eixo
ligado à extremidade de uma mola de constante elástica
cuja outra extremidade está presa. Se desprezarmos a massa da mola, como sempre fazemos, sabemos que o carrinho vai executar um movimento harmônico simples (MHS) com frequência angular
Usando a formulação lagrangiana podemos levar em conta o efeito da massa
da mola da seguinte forma:
a) Suponha que a massa da mola esteja uniformemente distribuída e que ela se distenda também uniformemente e prove que a energia cinética da mola é
, onde
é a distensão da mola a partir de sua posição de equilíbrio. Escreva a Lagrangeana do sistema. (A energia potencial continua sendo
).
b) Escreva as equações de Lagrange e mostre que o carrinho executa MHS com frequência angular
- isto é, o efeito da massa
da mola é simplesmente somar
à massa do carrinho.
a) Suponha que a massa da mola esteja uniformemente distribuída e que ela se distenda também uniformemente e prove que a energia cinética da mola é
b) Escreva as equações de Lagrange e mostre que o carrinho executa MHS com frequência angular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Mostrar que, supondo massa da mola uniformemente distribuída e deformação também uniforme, a energia cinética da mola é
, onde é a distensão total da mola em relação à posição de equilíbrio, e escrever a lagrangeana do sistema (a energia potencial continua sendo ). - (b) Usar a lagrangeana para obter as equações de movimento e mostrar que o carrinho faz MHS com frequência angular
.
Informações dadas que vamos usar:
- Massa do carrinho:
. - Massa da mola (uniforme):
. - Constante elástica:
. - Deslocamento/alongamento do extremo livre (o carrinho) em relação ao equilíbrio:
. - Suposição adicional do enunciado: a mola se estende de forma uniforme ao longo do seu comprimento quando o carrinho se desloca (ou seja, o deslocamento de cada ponto ao longo da mola é proporcional à sua posição ao longo da mola).
Passo 2
Modelagem e escolha de coordenadas (explicação didática).
- Seja
o comprimento (em repouso) da mola. Não precisamos do valor numérico de no resultado final, mas é útil para a integração. - Introduzimos uma coordenada espacial ao longo da mola:
mede a posição do elemento da mola contado a partir da extremidade fixa, com . - Como a deformação é uniforme, o deslocamento em
é proporcional a . Especificamente, quando a extremidade móvel do spring desloca uma quantidade , o deslocamento do ponto em é
- A velocidade desse ponto é a derivada temporal:
- A massa por unidade de comprimento (densidade linear de massa) é
- Agora vamos calcular a energia cinética total da mola somando (integrando) as contribuições de todos os elementos.
Passo 3
Cálculo explícito da energia cinética da mola, com os passos da integração bem explicados.
- Energia cinética de um elemento de massa
que se move com velocidade é . - Para um elemento de comprimento
temos . - A velocidade do elemento em
é . - Então a energia cinética da mola é
- Tirando fatores independentes da integral:
- Calcule a integral
. É uma integral elemental:
- Substituindo:
- Finalmente, escrevendo de forma mais simples:
Comentário físico curto e intuitivo: cada pedaço da mola se move com uma velocidade que varia linearmente de
(na extremidade fixa) até
(na extremidade móvel), por isso a média do quadrado da velocidade ao longo da mola dá o fator
e resulta no
efetivo.
Passo 4
Energia cinética total, energia potencial e escrita da lagrangeana (explicação de cada termo).
- Energia cinética do carrinho:
. - Energia cinética total do sistema (carrinho + mola):
- Energia potencial da mola dada no enunciado:
. - A lagrangeana é
. Logo:
Explicação: a lagrangeana reúne energia cinética (que quantifica a inércia) e energia potencial (que fornece a força restauradora). Observe que a presença da massa da mola aparece apenas adicionando
à massa efetiva do sistema.
Passo 5
Equações de Lagrange e obtenção da frequência (passo a passo no cálculo das derivadas).
- Para uma coordenada generalizada
a equação de Euler–Lagrange é
- Calcule as derivadas:
- Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
- Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com coeficientes constantes. A forma padrão é
, então identificamos
ou seja
Interpretação final: a massa da mola entra como uma contribuição inercial efetiva igual a
. Portanto o sistema oscila como se o carrinho tivesse massa
.
Resposta
(a)
. A lagrangeana é
(b)