O pêndulo cicloidal de Huyghens consiste numa partícula oscilando num plano vertical ao longo de um arco de ciclóide com equações paramétricas
com o eixoy apontando verticalmente para baixo. Mostre que a lagrangiana desse sistema pode ser posta na forma
Fazendo a transformação de ponto
, obtenha a lagrangiana e a equação de Lagrange em termos da coordenada
. Prove que o período de oscilação é igual a
, independente, portanto, da amplitude
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas do arco ciclóide:
com o eixo
apontando verticalmente para baixo. As perguntas são, explicitamente:
- Mostrar que a lagrangiana pode ser escrita como
- Fazer a transformação de ponto
, obter a lagrangiana em e a equação de Lagrange correspondente. - Provar que o período de oscilação é
independente da amplitude
.
Informações relevantes dadas:
- Posição em função de
(acima). -
massa da partícula, aceleração da gravidade, parâmetro geométrico. - A orientação do eixo
é para baixo (importante para o sinal da energia potencial).
Passo 2
Vamos montar a lagrangiana passo a passo. Lembrando: a lagrangiana é
, onde
é a energia cinética e
a energia potencial. Primeiro calculamos as velocidades.
Derivando as coordenadas em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas em
:
Portanto
Passo 3
Agora a energia cinética
. Substituindo:
Expandindo e simplificando usando
:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
Logo
Passo 4
Agora a energia potencial
. Como o eixo
aponta para baixo, a altura em relação a uma referência é
(ou seja, subir diminui
). A energia potencial gravitacional é
. Portanto, em função de
Dado que
, temos
Então a lagrangiana
fica
Isto é exatamente a forma pedida.
Comentário didático curto: o sinal “positivo” no segundo termo vem do fato de
positivo ser para baixo, então
; assim
.
Passo 5
Aplicamos agora a transformação de ponto
. Primeiro expressamos as quantidades trigonométricas em função de
:
Precisamos também relacionar
com
. Diferenciando
:
Isolando
e quadrando:
Passo 6
Substituímos essas expressões na lagrangiana em
:
Usando
e
:
Portanto
Passo 7
Agora obtemos a equação de Lagrange para
. A equação de Euler–Lagrange é
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
Dividindo por
:
Esta é a equação de um oscilador harmônico simples linear.
Passo 8
Da equação
com
, o período da oscilação é
Como a equação em
é linear e homogênea com constante
independente da amplitude, o período é independente da amplitude
.