Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, 2 x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^4

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F1(x,y)=(y,2x^2) ao levar um objeto de (0,0) a (1,1) seguindo o caminho definido por y=x^4.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial:
W=integralCF1cdot dr

Passo 2

Parametrizamos a curva C por
r(t)=(x(t),y(t))=(t,;t^4), tin[0,1]
Então
dr=(dx,dy)=(dt,;4t^3dt)

Passo 3

Em termos de t, a força vale
F1(r(t))=l(y(t),,2x(t)^2r)=(t^4,,2t^2)
O produto escalar é
F1cdot dr = t^4cdot 1,dt ;+;2t^2cdot 4t^3,dt = l(t^4+8t^5r),dt

Passo 4

Agora integramos de t=0 a t=1:
W=integral0^1l(t^4+8t^5r),dt =integral0^1t^4,dt ;+;8integral0^1t^5,dt =[t^55]0^1 +8[t^66]0^1
Isso dá
W=15+8cdot16 =15+43 =3+2015 =2315

Resposta

2315

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